Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

USP, Física 4, P3 - 2015, Questão Q1

Uma partícula de massa Equation se move em uma dimensão na presença de um “poço de potencial” de profundidade Equation e largura Equation conforme a figura Equation . A partícula se encontra num estado estacionário de energia Equation .

  1. A densidade de probabilidade de se encontrar a partícula em uma das regiões fora do poço é Equation , onde Equation e Equation são constantes positivas. Explicite a região fora do poço na qual é aceitável esta densidade e explique o porquê. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula nesta região (suponha Equation e Equation conhecidos).
  2. Calcule a constante Equation para que a função de onda associada à densidade de probabilidade Equation satisfaça a equação de Schrödinger na região apropriada.
  3. Escreva a equação de Schrödinger para a região Equation e determine a solução geral desta equação.

Passo 1

Letra a)

A densidade da probabilidade tem que ser tal que ela seja possível de ser normalizada.

Equation

Para isso, a integral dela em todas as regiões não pode ser infinita.

Quando vamos andando no sentido negativo do eixo Equation , essa função vai crescendo cada vez mais, sendo que quando Equation , essa densidade de probabilidade tende ao infinito:

Equation

Logo, essa densidade não pode descrever a partícula para Equation .

Mas ela pode descrever a partícula na região Equation , pois neste caso:

Equation

E podemos normalizar a função!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a probabilidade da partícula se encontrar em Equation . Lembrando que Equation é a densidade de probabilidade, temos:

Equation

Equation

Passo 3

Letra b)

Sabemos que

Equation

Porém, é a função de onda que aparece na equação de Schrödinger. Então, tirando a raíz quadrada:

Equation

A equação de Schrödinger nessa região é dada por

Equation

Pois a energia potencial é Equation . Rearrumando:

Equation

Substituindo nossa função de onda:

Equation

Equation

O que dá:

Equation

Ou seja:

Equation

Passo 4

Letra c)

Nesta região, a energia potencial é zero, e a equação de Schrödinger fica:

Equation

Agora vamos ajeitá-la de forma que saibamos resolver.

Equation

Definindo Equation , temos:

Equation

Cuja solução é uma combinação de senos e cossenos (ou de exponenciais complexas)

Equation

Resposta

Letra a)

A região é Equation .

Equation

Letra b)

Equation

Letra c)

Equation

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