Exercícios Resolvidos de Pêndulo

UFRJ, Física 1, P1 - 2017.2, Questão 3

Um pêndulo é constituído por uma pequena esfera de massa Equation e um fio ideal de comprimento Equation . No instante em que o fio faz um ângulo Equation com a vertical, a resultante Equation das forças que atuam sobre a esfera tem direção horizontal, conforme a figura abaixo. Responda as perguntas abaixo.

a) Qual o módulo Equation da velocidade da esfera no instante indicado na figura?

b) Supondo conhecido o valor de Equation , qual o módulo da velocidade da esfera quando o fio estiver alinhado verticalmente?

Passo 1

Vamos analisar as forças atuando na partícula:

Temos a força peso e a força de tração.

O enunciado nos diz que nesse instante, a força resultante ( Equation ) na partícula é horizontal. Então, vamos decompor as forças nos eixos vertical e horizontal para entender melhor isso.

A força peso já está na vertical, então, vamos decompor a força de tração ( Equation ):

Se a nossa força resultante total ( Equation ) está na horizontal, temos que as forças na vertical têm que se anular. Então com isso tiramos a primeira relação do nosso problema:

Equation

Equation

Vamos dar uma olhada no primeiro item.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Qual o módulo Equation da velocidade da esfera no instante indicado na figura?

Como a partícula no pêndulo percorre uma trajetória circular, podemos pensar numa força centrípeta para achar uma relação entre as forças e a velocidade.

Para isso, vamos decompor as forças, agora, na direção radial (eixo apontando para o centro):

A componente da força resultante que atua como centrípeta será igual ao somatório das forças sobre o eixo passando pelo centro do círculo, ou seja, Equation e a componente da força peso ( Equation ):

Equation

Equation

Podemos substituir o valor da força de tração já encontrada ( Equation ):

Equation

Podemos cortar a massa:

Equation

Equation

Calculando a raiz disso, já encontramos uma expressão para Equation , porém podemos tentar deixar a resposta com uma cara mais amigável:

Equation

Com a relação fundamental trigonométrica, temos que ( Equation ):

Equation

Equation

Passo 3

b) Supondo conhecido o valor de Equation , qual o módulo da velocidade da esfera quando o fio estiver alinhado verticalmente?

Para resolver esse item podemos pensar na conservação da energia mecânica. Vamos ter a energia potencial gravitacional sendo transformada em energia cinética.

Só para deixar claro, que a energia só se conserva pois a força de tração no fio é sempre perpendicular ao movimento da partícula, logo seu trabalho é zero. Assim, a única força externa que atua na partícula é a força peso, que é uma força conservativa.

Vamos usar o ponto mais baixo como referencial de energia potencial nula.

No ponto inicial, a partícula vai ter uma energia cinética ( Equation ) associada à sua velocidade Equation e uma energia potencial gravitacional ( Equation ) associada à sua altura Equation . Já no ponto final, quando o fio estiver na vertical, a partícula vai ter apenas uma energia cinética ( Equation ):

Conservando a energia mecânica, temos:

Equation

Equation

Equation

Podemos cortar a massa e multiplicar por Equation todos os termos:

Equation

Mas como encontramos a altura Equation ?

Podemos dizer que:

Equation

Equation

Voltando à nossa equação, conseguimos encontrar Equation :

Equation

Equation

Resposta

(a) Equation

(b) Equation

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