Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva espacial parametrizada

β t = t 2 , t 3 - t , t 3 - t 2 - t 4 ,         t ∈ R

Encontre um ponto da curva espacial tal que a reta tangente neste ponto seja paralela ao plano x y . Dê a equação cartesiana do plano ortogonal à curva espacial neste ponto.

Passo 1

Para acharmos a reta tangente primeiro precisamos achar a derivada dessa parametrização.

β ' t = 2 t , 3 t 2 - 1,2 t 3 - t 3 t 2 - 1 - 4 t 3

Ele disse que a reta tangente precisa ser paralela ao plano x y , ou seja, esse vetor precisa ser perpendicular ao vetor 0 , 0,1 .

Vamos fazer o produto escalar desses vetores e ele precisa ser 0

2 t , 3 t 2 - 1,2 t 3 - t 3 t 2 - 1 - 4 t 3 ∙ 0,0 , 1 = 2 t 3 - t 3 t 2 - 1 - 4 t 3 = 0

Temos a equação

2 t 3 - t 3 t 2 - 1 - 4 t 3 = 0

Abrindo essa bagunça vamos ter

6 t 5 - 12 t 3 + 2 t = 0

A magia dessa parada é que ele quer apenas uma raiz, e como podemos por t em evidencia nessa bagunça vamos ter

t = 0

Vamos achar as coordenadas do ponto agora.

β 0 = 0 2 , 0 3 - 0 , 0 3 - 0 2 - 0 4 = 0,0 , 0

Como um ponto onde a reta tangente é paralela ao plano x y .

Passo 2

Aqui, para acharmos o plano ortogonal, conhecido também como plano normal, devemos achar a derivada no ponto que achamos no passo 1 ,

β ' 0 = 2.0,3 . 0 2 - 1,2 0 3 - 0 3 . 0 2 - 1 - 4 . 0 3 = 0 , - 1,0

Passo 3

A equação do plano normal vai ser

x , y , z ∙ β ' 0 = β 0 ∙ β ' 0

x , y , z ∙ 0 , - 1,0 = 0,0 , 0 0 , - 1,0

- y = 0

y = 0

Esse é o plano normal.

Resposta

β 0 = 0,0 , 0

y = 0