Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

USP, Cálculo 2, P2 2014, questão 2

Seja f : R 2 R uma função diferenciável e considere   γ : R R 3 dada por:

γ t = t , 2 t 2 , t 2 ,   t R

Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto 2,8 . Sabendo que a imagem de γ está contida no gráfico de f e que a reta r passa pelo ponto 1 , - 4 , determine:

  1. O vetor gradiente de f no ponto 2,8
  2. A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2,8 , f 2,8 .

Passo 1

a)Organizando tudo o que temos:

  • Uma função não especificada f x , y (sabemos que tem duas variáveis, porque é de R 2 );
  • Uma curva γ t = t , 2 t 2 , t 2 que está contida na superfície formada por f x , y ;
  • E uma reta, que sabemos que é tangente à curva de nível 4 no ponto 2,8 e também passa pelo ponto 1 , - 4 .

E, com essas informações, temos que encontrar o vetor gradiente de f x , y no ponto 2,8 .

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Passo 2

Agora vamos botar a mão na massa!

Temos dois pontos por onde a reta r passa, certo? Então vamos encontrar um vetor diretor dela, fazendo a diferença entre os pontos!

v = 2,8 - 1 , - 4

v = 1,12

Passo 3

Como o gradiente da função f x , y é dado pelo vetor normal à superfície, temos, por consequência, que ele é perpendicular a esse vetor encontrado(porque o nosso v é tangente à superfície)!

Assim, se a gente rotacionar o vetor v que encontramos em 90 graus, ele será paralelo ao vetor gradiente, e ficará na mesma linha, conseguiu enxergar? Assim, vamos pegar o vetor v = 1,12 , e fazer:

v = 1,12 + 90 ° = 12 , - 1

Lembra de Álgebra Linear? Se não, dá uma olhadinha na teoria que essa parte é bem simples, basicamente, se queremos rodar em 90 ° um vetor no sentido anti-horário, invertemos as coordenadas e multiplicamos a segunda por - 1 .

E, finalmente, agora que o vetor v e o F x , y são colineares, podemos escrever para o ponto 2,8 :

F 2,8 = k . 12 , - 1

Ou seja, um é múltiplo do outro. O valor de k iremos descobrir mais tarde, antes temos que chegar a mais algumas conclusões...

Passo 4

Vamos agora dar uma olhada para a curva γ t . Sabemos que ela está contida na superfície f x , y , certo? Então, podemos dizer que, se

γ t = t , 2 t 2 , t 2

E

f x , y = z

Então,

f t , 2 t 2 = t 2

Viu o que fizemos? A curva γ t pega sempre o valor de um t , e, com ele, forma um ponto de 3 coordenadas. Já a superfície f x , y , com dois pontos dados (ou seja, o valor da primeira e segunda coordenada de γ t ), gera um terceiro valor, que dará a coordenada z do ponto.

E qual seria o valor do parâmetro t , se a nossa curva de nível passa por z = 4 (ou seja, nível 4)? Fácil, basta a gente resolver esse “sistema”:

f 2,8 = 4 f t , 2 t 2 = t 2

Se temos essas duas equações, podemos dizer que:

2 t 2 = 8

t 2 = 4

t = 2

Passo 5

E agora só precisamos de mais uma relação que envolva o a função f x , y e a curva γ t , sabe qual? A regra da cadeia! Veja só, por ela teremos que:

f σ ' t = d f d t

Assim, como f t , 2 t 2 = t 2 , F 2,8 = k . 12 , - 1 , e t = 2 , só precisamos calcular a derivada dessa curva para t = 2 e resolver essa equação, pois a única incógnita será o k !

Fazendo então a derivada:

γ t = t , 2 t 2 , t 2

σ ' t = 1,4 t , 2 t

Para t = 2 ,

σ ' t = 1,8 , 4

Passo 6

Agora, resolvendo a equação:

f σ ' t = d f d t

Usando F 2,8 = k . 12 , - 1 , σ ' t = 1,8 , 4 e f t , 2 t 2 = t 2 ,

k . 12 , - 1   .   1,8 , 4 = 2 t

Para t = 2 , teremos:

k . 12 , - 1   .   1,8 , 4 = 4

12 k . 1 - k . 8 + 0.4 = 4

k = 1

Passo 7

Beleza!!! Agora que temos o valor de k , é só voltamos pra equação do vetor gradiente com o vetor diretor da reta:

F 2,8 = k . 12 , - 1

Com k = 1

F 2,8 = 12 , - 1

Passo 8

  1. Agora vamos encontrar a equação do plano tangete?

Como sabemos, f 2,8 , f 2,8 é f 2,8 , 4 , porque a curva esse tempo todo tinha nível 4 com parâmetro t = 2 etc etc....

Agora que sabemos o vetor gradiente nesse ponto F 2,8 = δ f 2,8 δ x , δ f 2,8 δ y = 12 , - 1 , basta usarmos a equação do plano tangente para esse vetor!

δ f x 0 , y 0 δ x x - x 0 + δ f x 0 , y 0 δ y y - y 0 = z - z 0

Passo 9

Do item a , temos que F 2,8 = 12 , - 1 e f 2,8 = 4 .

Colocando esses valores na equação,

12 x - 2 - 1 y - 8 = z - 4

12 x - y - z = 12

E aí está a equação do plano!

Resposta

  1. Vetor gradiente é 12 , - 1
  2. Plano tangente é 12 x - y - z = 12

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