Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

USP, Cálculo 2, P-REC - 2013, Questão 2

Seja F : R 3 R uma função diferenciável e seja π o plano tangente à superfície de nível 0 de F no ponto - 2,4 , - 2 . Supondo que as duas afirmações a seguinte sejam verdadeiras:

  • A curva σ t = t , t 2 ,   t 3 + 2 t 2 + t ,   t - , 0 , tem sua imagem contida na superfícies de nível 0 de F .
  • A reta r , dada por x , y , z = 1,1 , 1 + α 1 , - 2,0 , α R , é paralela ao plano π .

Determine a equação do plano π .

Passo 1

Vamos lá, esse enunciado rebuscou demais para dizer coisa simples... Vamos dar uma resumida? O pontos que interessam são:

  • Temos uma função F , de três variáveis, e seu plano tangente no ponto - 2,4 , - 2 .
  • Temos σ t = t , t 2 ,   t 3 + 2 t 2 + t , a curva de nível 0 de F
  • Temos x , y , z = 1,1 , 1 + α 1 , - 2,0 , uma reta que é paralela ao plano tangente de F no ponto - 2,4 , - 2 .

E, com isso, temos que descobrir a equação do plano :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos montar agora nossa estratégia?

Como a curva está no mesmo nível do plano, podemos ver qual é o vetor tangente a ela no ponto - 2,4 , - 2 , e, este, será perpendicular ao vetor normal do plano. Além disso, podemos dizer que o vetor diretor da reta que foi dada também é perpendicular ao vetor gradiente de F , normal do plano!

Se fizermos o produto vetorial entre o vetor tangente da curva e o vetor diretor da reta, teremos como resultado um vetor que é perpendicular a ambos, e, por consequência, paralelo ao vetor gradiente do plano tangente!

Passo 3

Sem mais enrolação, encontrar o vetor tangente de σ t = t , t 2 ,   t 3 + 2 t 2 + t no ponto - 2,4 , - 2 !

Para isso, vejamos o valor do parâmetro nesse ponto:

- 2,4 , - 2 = t , t 2 ,   t 3 + 2 t 2 + t

Pela primeira coordenada, t = - 2 , show?

Agora, derivando a curva, temos:

σ ' t = 1,2 t ,   3 t 2 + 4 t + 1

Para t = - 2 , teremos:

σ ' - 2 = 1 , - 4 ,   5

Assim, temos que F x , y , z 1 , - 4 ,   5 , ou seja, o vetor gradiente de F , que é o vetor normal do plano tangente, é normal ao vetor tangente dessa curva ;)

Passo 4

Agora, vejamos a reta:

x , y , z = 1,1 , 1 + α 1 , - 2,0

Pela sua equação, vemos que seu vetor diretor é 1 , - 2,0 , que tem o coeficiente multiplicando. Assim, temos:

F x , y , z 1 , - 2,0

Passo 5

Fazendo o produto vetorial entre os dois vetores perpendiculares ao vetor gradiente, teremos:

i ^ j ^ k ^ 1 - 2 0 1 - 4 5 = i ^ - 2.5 + j ^ 1.0 + k ^ 1 . - 4 - k ^ 1 . - 2 - j ^ 1.5 - i ^ - 4.0

i ^ j ^ k ^ 1 - 4 5 1 - 2 0 = - 10 , - 5 , - 2

E, agora, temos um vetor que é paralelo ao vetor normal do plano!

Passo 6

Com isso, nada nos impede de tomá-lo como o próprio vetor normal, pois a proporção entre as variáveis será mantida! Como temos esse vetor e temos o ponto de tangência, só jogar na equação do plano:

x , y , z . n = P 0 . n

x , y , z . - 10 , - 5 , - 2 = - 2,4 , - 2 . - 10 , - 5 , - 2

Desenvolvendo, teremos:

- 10 x - 5 y - 2 z = 4

E aí está a tão esperada equação :D

Resposta

Plano: - 10 x - 5 y - 2 z = 4

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas