PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P2, 2016.1, questão 1c
Considere a função
Encontre a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de em , explicitando o normal ao plano neste ponto.
Passo 1
Simples, apenas seguir o nosso passo-a-passo, lembra dele?
- Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície
- Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito
- Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação
- Calcular gradiente de :
- Calcular gradiente de no ponto :
- O vetor normal será
- Substituir na expressão do plano
Passo 2
Substituindo por na equação:
Jogando tudo para o lado esquerdo na equação e deixando zero no lado direito:
E chamando isso de
Passo 3
Show, agora, calculando o gradiente de :
Assim
Passo 4
No ponto de tangencia , temos
Segundo o item 6 do nosso passo a passo, esse é o vetor normal ao plano no ponto de tangencia.
Passo 5
O que falta para acharmos a equação do plano tangente agora é substituir na equação do plano. Vamos terminar essa bagaça então
Resposta
O vetor normal é
E a equação cartesiana do plano tangente é
Exercícios de Livros Relacionados
Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o pla
Ver Mais
Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu pl
Ver Mais
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Ver Mais
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?
Ver Mais