UFPE, Cálculo 2, 2°EE, 2012.2, questão 1
Sejam e os dois primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é , então e ). Considere a função .
- Dados positivos, determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
- Determine o plano tangente ao gráfico de que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo.
Dica: O volume do tetraedro é o valor da área da base multiplicado pela altura, dividido por .
Passo 1
- Vamos começar definindo a função :
- Vamos organizar as informações pra gente não se enrolar. Imagine que o plano tangente intercepta os eixos e , respectivamente, nos pontos arbitrários:
Passo 2
Encontrando as derivadas parciais de , num ponto qualquer temos:
Passo 3
A equação do plano tangente será:
Ajeitando:
Passo 4
Passo 2
Porém esses pontos pertencem ao plano tangente. No ponto , fazendo , temos:
Porém , substituindo:
Ajeitando, temos:
Passo 3
Utilizando o mesmo racicionio para , temos:
O mesmo procedimento para , temos:
Passo 4
O volume do tetraedro é dado por
Substituindo:
Resposta
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