Exercícios Resolvidos de Poder de Resolução e Critério de Rayleigh

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 139-21

Os dois faróis de um automóvel que se aproxima de um observador estão separados por uma distância de 1,4   m . Qual é:

  1. A separação angula mínima?
  2. A distância mínima para que o olho do observador seja capaz de resolvê-los?

Suponha que o diâmetro da pupila do observador é 5,0   m m e use um comprimento de onda da luz de 550   n m para a luz dos faróis.

Suponha também que a resolução é limitada apenas pelos efeitos da difração e, portanto, que o critério de Rayleigh pode ser aplicado.

Passo 1

Letra a)

A separação angular mínima para o olho humano distinguir os dois faróis vai ser aquela na qual o mínimo de difração de cada farol coincide com o máximo do outro.

Vamos avaliar para um dos faróis:

sen ⁡ ( θ ) = 1,22 λ d

Onde d = 5,0   m m = 0,005   m é o diâmetro da pupila do observador e λ = 550   n m = 550 ∙ 10 - 9   m é o comprimento de onda da luz do farol. Resolvendo:

sen ⁡ ( θ m í n ) = 1,22 550 ∙ 10 - 9 0,005 ≅ 134,2 ∙ 10 - 6

θ m í n = sen - 1 ⁡ ( 134,2 ∙ 10 - 6 ) ≅ 1,34 ∙ 10 - 4   r a d ≅ 0,0077 °

O que nos mostra que poderíamos ter usado a aproximação de pequenos ângulos diretamente e feito θ = 1,22 λ d .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Com o ângulo encontrado, podemos encontrar a distância mínima entre o olho e os faróis a partir da tangente do ângulo.

Pelo gráfico vemos que:

tan ⁡ ( θ ) = D L

Que nos permite encontrar a distância mínima L m í n à qual o olho deve estar dos faróis para distinguí-los, usando a distância entre eles D = 1,4   m .

Rearranjando:

L m í n = D tan ⁡ θ = 1,4 tan ⁡ 1,34 ∙ 10 - 4   r a d ≅ 10   4 32 , 19   m ≅ 10,4   k m

Resposta

Letra (a)

θ m í n ≅ 1,34 ∙ 10 - 4   r a d ≅ 0,0077 °

Letra (b)

L m í n ≅ 10,4   k m

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