Exercícios Resolvidos de Poder de Resolução e Critério de Rayleigh

Origem do Exercício

Luz de comprimento de onda de 500   n m de uma fonte pontual distante incide normalmente sobre um anteparo com uma fenda de largura a = 5   000   n m . O padrão de difração é observado numa tela a uma distância L = 3   m do anteparo.

  1. Calcule a posição angular do primeiro e do segundo mínimos de difração com θ > 0 (use a aproximação sen ⁡ θ ≈ tg ⁡ θ ≈ θ ).
  2. Calcule a distância y > 0 do primeiro máximo lateral de difração em relação ao centro da figura de difração (veja a figura 1). Use a aproximação de que um máximo lateral está situado à meia distância dos mínimos adjacentes.
  3. Considere agora duas fontes pontuais idênticas, não coerentes, emitindo luz desse mesmo comprimento de onda ( 500   n m ), situadas à mesma distância D da fenda e separadas por l = 2   m , conforme a figura 2. Determine a distância máxima D para que essas duas fontes estejam minimamente resolvidas na tela.

Passo 1

Letra a)

A condição para a formação de mínimos de difração no anteparo é:

a ∙ sen ⁡ θ = m λ ;       m = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Onde :

  • a = 5   000   n m é a largura da fenda
  • λ = 500   n m é o comprimento de onda da luz

Temos então

5000 ∙ sen ⁡ θ = m ∙ 500

sen ⁡ θ = m 10

O primeiro e o segundo mínimos correspondem a m = 1 e m = 2 respectivamente. Considerando a aproximação sen ⁡ θ ≈ θ , nós obtemos:

θ 1 = 0,1   r a d ≅ 5,73 °

θ 2 = 0,2   r a d ≅ 11,46 °

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Se considerarmos a aproximação de que o máximo de difração está exatamente no meio de dois mínimos, então para acharmos a posição do primeiro máximo lateral precisamos achar a posição do primeiro e segundo mínimos.

Pelo item anterior, temos que:

θ 1 = 0,1   r a d

θ 2 = 0,2   r a d

A posição de um dado mínimo pode ser calculada usando a tangente do ângulo:

tan ⁡ θ i = y L

Onde L = 3   m é a distância entre a fenda e o anteparo. Usando a aproximação tan ⁡ θ ≈ θ , teremos:

θ i = y i L     →       y i = L ∙ θ i

Como o máximo vai estar no meio dos dois primeiros mínimos:

y m á x = y 1 + y 2 2 = L ∙ θ 1 + θ 2 2

Ou seja, poderíamos ver apenas o ângulo médio entre os dois mínimos e achar a posição correspondente.

θ 1 + θ 2 2 = 0,1 + 0,2 2 = 0,15   r a d

y m á x = 3 ∙ 0,15 = 0,45   m

Passo 3

Letra c)

Como o máximo de difração está situado na reta que liga a fonte ao centro da fenda, podemos achar a distância entre os dois máximos:

Onde H é a distância entre os dois máximos.

Agora vem a sacada: Temos dois triângulos azuis, um com base l e um com base H . Os ângulos opostos à base dos dois são iguais, pois são opostos pelo vértice. Os outros dois ângulos de cada triângulo também são, porque l e H são paralelos.

Isso significa que os dois triângulos são semelhantes, e por isso suas bases e alturas são proporcionais umas às outras.

D L = l H   →       D = l ∙ L H

Passo 4

Pelo critério de Rayleigh, para ser possível resolver as duas fontes na tela, é necessário que o máximo de difração central de uma coincida com o primeiro mínimo de difração da outra.

Por isso, temos que ter H = y 1 = L ∙ θ 1 . Substituindo na equação para D

D = l θ 1 = 2 0,1 = 20   m

Resposta

Letra a)

θ 1 = 0,1   r a d ≅ 5,73 °

θ 2 = 0,2   r a d ≅ 11,46 °

Letra b)

y m á x = 0,45   m

Letra c)

D = 20   m

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