Exercícios Resolvidos de Poder de Resolução e Critério de Rayleigh

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 144-90

A pupila do olho de uma pessoa tem um diâmetro de 5,00   m m . De acordo com o critério de Rayleigh, qual deve ser a distância entre dois pequenos objetos para que estejam no limite da resolução quando se encontram a 250   m m de distância do olho?

Suponha que o comprimento de onda da luz é 500   n m .

Passo 1

Vamos resolver este exercício de duas maneiras para poder compará-las.

Primeiro, consideremos que os ângulos envolvidos são muito pequenos. Assim, para encontrar a distância entre os dois pequenos objetos podemos usar direto a equação:

D = 1,22 ∙ λ d ∙ L

Onde λ = 500   n m = 500 ∙ 10 - 9   m é o comprimento de onda da luz, d = 5,00   m m =   0,005   m é o diâmetro da pupila da pessoa e L = 250   m m = 0,25   m é a distância dos objetos ao olho da pessoa.

A distância necessária entre os dois pequenos objetos para que estejam no limite da resolução vai ser:

D = 1,22 ∙ 500 ∙ 10 - 9 0,005 ∙ 0,25 ≅ 30,5 ∙ 10 - 6   m = 30,5   μ m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos evitar a consideração de pequenos ângulos.

Dessa forma, vamos primeiro precisar descobrir o menor ângulo entre os dois objetos para depois encontrar a distância entre eles.

Para o ângulo:

sen ⁡ θ = 1,22 λ d = 1,22 ∙ 500 ∙ 10 - 9 0,005 ≅ 122 ∙ 10 - 6  

θ = sen - 1 ⁡ 122 ∙ 10 - 6 ≅ 122 ∙ 10 - 6   r a d ≅ 0,007 °

O que já nos comprova que nossa aproximação de pequenos ângulos é suficientemente boa.

Passo 3

Para terminar, nós encontramos a distância entre os dois objetos pela tangente do ângulo.

tan ⁡ θ = D L

D = tan ⁡ θ ∙ L = tan ⁡ ( 122 ∙ 10 - 6   r a d ) ∙ 0,25 ≅ 30,5 ∙ 10 - 6   m = 30,5   μ m

Que é a mesma resposta que tínhamos encontrado antes.

Os dois caminhos são possíveis e têm suas vantagens, então você pode escolher o que você achar melhor.

O primeiro é mais rápido, mas é uma fórmula pronta, com a explicação embutida.

O segundo demora mais, mas você vai montando a fórmula e entendendo cada etapa (inclusive o problema pode pedir essas etapas em vários itens).

Resposta

D ≅ 30,5   μ m

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