Exercícios Resolvidos de Polias Móveis

USP- P1-2011-Q4

Na figura abaixo tem-se uma massa m 1 que está conectada a uma massa m 2 através das polias P 1 e P 2 que tem massas despreziveis. Supondo que a massa m 1 desliza sobre a mesa sem atrito e que a aceleração da massa m 2 é vertical e para baixo, pede-se:

(a) Coloque em um diagrama todas as forças que atuam no sistema.

(b) Determinar o valor numérico da razão a 1 / a 2   , considerando os fios inextensíveis.

(c) Determinar as trações T 1 e T 2 em função de g , m 1 e m 2 .

(d) Determinar as acelerações a 1 e a 2 .

Passo 1

a)

As forças que atuam no sistema estão representadas na figura abaixo, onde F corresponde a força de apoio da polia que anula a resultante das forças T 2 que atuam nessa polia e geram uma resultante no sentido oposto de F .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Devido a polia não fixa que liga o bloco de massa m 1 ser conectada por 3 fios, quando a massa m 2 se deslocar de um comprimento L a massa m 1 se deslocará de um comprimento 2 L . Portanto, como o bloco m 1 terá que percorrer o dobro da distância no mesmo tempo, a aceleração dele terá que ser o dobro. Então, a 1 = 2 a 2 , logo:

a 1 a 2 = 2

Passo 3

c)

Vamos primeiramente escrever as equações de movimentos para os três corpos que possuem aceleração diferente de zero que são as massas m 1 e m 2 e a polia P 1 .

T 1 = m 1 a 1                                                           1

m 2 g - T 2 = m 2 a 2                               2

T 2 - 2 T 1 = m p 1 a 2                               ( 3 )

Devido a massa das polias serem desprezíveis, da equação 3 vamos ter:

T 2 - 2 T 1 = 0

T 2 = 2 T 1

Substituindo isso na equação 2 obtemos:

m 2 g - 2 T 1 = m 2 a 2

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 2

Substituindo a aceleração que encontramos no item b :

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 1 2

Da equação 1 temos que:

a 1 = T 1 m 1

Substituindo isso:

2 T 1 = m 2 g - m 2 T 1 2 m 1

2 T 1 + m 2 T 1 2 m 1 = m 2 g

T 1 2 + m 2 2 m 1 = m 2 g

T 1 4 m 1 + m 2 2 m 1 = m 2 g

Logo T 1 vale:

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

E T 2 vale 2 vezes o T 1 , ou seja:

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

Passo 4

d)

Basta utilizar a equação 1 do item anterior e substituir o valor da tração:

a 1 = T 1 m 1

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

E

a 2 = a 1 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Resposta

a)

b) a 1 / a 2 = 2

c)

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

d)

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

a 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

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