Exercícios Resolvidos de Polias Simples

USP- P1-2010-Q3

Inicialmente o sistema de corpos mostrado na figura parte do repouso. Todas as superfícies, polia e rodas são sem atrito. O corpo de massa m 2 é preso ao corpo de massa M , podendo deslizar verticalmente sem atrito, mas não podendo se afastar dele.

a) Qual é a força horizontal que tem de ser aplicada ao carro para que os blocos permaneçam estacionários em relação ao carro?

Para F = 0 , no instante após ser solto o sistema de corpos, encontre:

b) A tensão T no fio.

c) A aceleração de m 1 .

d) A aceleração de M .

e) A aceleração de m 2 .

Passo 1

a)

Para que m 1 não se movimente em relação a M , ele tem que ter a mesma aceleração que todo o conjunto.

A aceleração do conjunto vai ser

a = F m 1 + m 2 + M

Já no bloco de massa m 1 a força resultante é a tração, assim

a 1 = T m 1

Como queremos que o bloco 1 não se mova em relação ao bloco grande temos que o bloco 2 também não pode se mover. Assim, escrevendo a segunda lei na vertical pro segundo bloco

T - P 2 = m 2 a 2 → T - P 2 = 0

T = P 2 = m 2 g

Se jogarmos esse valor de T na aceleração do bloco 1 ficamos com

a 1 = T m 1 = m 2 m 1 g

Agora só falta impor que a 1 = a

F m 1 + m 2 + M = m 2 m 1 g

Isolando F

F = m 1 + m 2 + M . m 2 m 1 g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Nesse caso, os três blocos vão ter acelerações diferentes. O bloco M estará sujeito a uma aceleração A para a esquerda devido à força de reação a tração no bloco m 1 . O bloco m 2 estará sujeito a uma aceleração a para baixo devido à gravidade. O bloco m 1 estará sujeito às duas acelerações, e portanto, sua aceleração será a diferença entre elas, a - A .

Agora que já está tudo explicado, vamos aos cálculos. Vamos aplicar a segunda lei de Newton:

Para o bloco m 1 :

T = m 1 a - A                         1

Para o bloco m 2 :

m 2 g - T = m 2 a

Dividindo tudo por m 2 :

a = g - T m 2                     2

Para o bloco M :

T = M + m 2 A

A = T M + m 2                   3

Agora é só substituir as A e a na primeira equação:

T = m 1 g - T m 2 - T M + m 2

T = m 1 g - m 1 m 2 + m 1 M + m 2 T

T m 2 M + m 1 + m 1 M + m 2 + m 1 m 2 m 2 M + m 2 = m 1 g

T = m 1 m 2 M + m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

Passo 3

c)

Da equação 1 temos:

a - A = T m 1

Substituindo o valor da tração:

a - A = m 2 M + m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

Passo 4

d)

Da equação 3 temos:

A = T M + m 2

Substituindo o valor da tração:

A = m 1 m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

Passo 5

e)

Da equação 1 temos:

a = T m 1 + A

a = m 2 M + m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2 + m 1 m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

a = m 2 M + m 2 + m 1 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

No bloco m 2 , temos que a aceleração é dada por:

a 2 → = - A i ^ - a j ^

a 2 → = - m 1 m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2 i ^ - m 2 M + m 2 + m 1 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2 j ^

Resposta

a)

F = m 1 + m 2 + M . m 2 m 1 g

b)

T = m 1 m 2 M + m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

c)

a - A = m 2 M + m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

d)

A = m 1 m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2

e)

a 2 → = - m 1 m 2 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2 i ^ - m 2 M + m 2 + m 1 g M + m 2 m 1 + m 2 + m 1 m 2 j ^

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