Exercícios Resolvidos de Polias Simples

PUCRIO-P1-B-2013.2 Q2

O plano abaixo tem inclinação θ em relação à horizontal igual a 30 ° . Duas cordas inextensíveis e uma polia, ambas sem massa, mantém em equilíbrio três caixas. Despreze o atrito entre as caixas e o plano. Responda aos itens abaixo, sabendo que a caixa 1 tem massa igual a 4,0   k g , a caixa 3 tem massa igual a 1,0   k g , e que g = 10 m / s 2 .

a ) Escreva a expressão literal para as equações de movimento das três caixas, em termos das suas componentes, utilizando os respectivos sistemas de coordenadas indicados na figura. Em seguida calcule o valor da massa da caixa 2 .

b ) Calcule e escreva utilizando notação vetorial a força normal que a caixa 1 exerce sobre o plano.

c ) Suponha agora que a caixa 2 tem massa igual a 5,0   k g . Calcule a componente horizontal da aceleração da caixa 3 .

Passo 1

a )

Antes de escrever as equações, vamos primeiro fazer o diagrama do corpo livre, o famoso DCL.

Agora que sabemos quais forças e como elas atuam nos corpos, podemos montar as equações do movimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

De acordo com a segunda Lei de Newton, teremos que o somatório de forças em cada corpo é igual ao produto de sua massa vezes a aceleração. Como todos os corpos estão ligados por fios inextensíveis, teremos que essa aceleração será a mesma para todos os corpos, e iremos adotar a para designá-la. Vamos decompor o movimento nas duas componentes para ficar mais fácil a visualização. Lembrando que iremos utilizar o sistema de coordenas x y para os corpos 1 e 3 e o sistema x ' y ' para o corpo 2 !

Agora, podemos começar, para o corpo 3 , temos:

Em x :

P 3 . sen θ - T 2 = m 3 . a

m 3 . g . sen θ - T 2 = m 3 . a

Em y , como não há movimento, temos:

N 3 = P 3 . cos θ

N 3 = m 3 . g . cos θ

Para o corpo 1 , temos:

Em x :

T 2 + P 1 . sen θ - T 1 = m 1 . a

T 2 + m 1 . g . sen θ - T 1 = m 1 . a

Em y , como não há movimento, temos:

N 1 = P 1 . cos θ

N 1 = m 1 . cos θ

Para o corpo 2 , como temos somente movimento em y ’, temos:

Em y ’:

T 1 - P 2 = m 2 . a

T 1 - m 2 . g = m 2 . a

Passo 3

Para determinar a massa do corpo 2 , vamos somar todas as equações de movimento em x e em y ' , de modo a cancelar os valores que não temos:

m 3 . g . sen θ - T 2 = m 3 . a

T 2 + m 1 . g . sen θ - T 1 = m 1 . a

T 1 - m 2 . g = m 2 . a

Somando, temos:

m 3 . sen θ + m 1 . sen θ - m 2 . g = m 3 + m 1 + m 2 . a

Como temos que o sistema está em equilíbrio, sabemos que a = 0

m 3 . sen θ + m 1 . sen θ - m 2 = 0

Para achar a massa do corpo 2 , basta substituir os valores:

1,0 . 1 2 + 4,0 . 1 2 = m 2

m 2 = 2,5   k g

Passo 4

b )

Pela equação do movimento em y para o corpo 1 , temos:

N 1 = P 1 . cos θ

Teremos, em módulo:

N 1 = m 1 . g . cos θ

N 1 = 4,0 .   10 . cos 30 °

N 1 = 34,6   N

Como ele pede a força normal que o bloco faz no plano, teremos, vetorialmente, que:

N 1 = 34,6   - j ^ N

Veja que essa não é a força normal que desenhamos no diagrama do corpo livre. A desenhada é a força que o plano faz no bloco. Ela será igual em módulo e sentido, mas a direção será contrária.

Passo 5

c )

Agora as coisas ficam um pouco diferentes, o sistema sairá da situação de equilíbrio. As equações de movimento que montamos no item a ainda estão valendo, só que agora, a será diferente de zero. Retomando a equação que já tínhamos achado, temos:

m 3 . sen θ + m 1 . sen θ - m 2 . g = m 3 + m 1 + m 2 . a

Para determinar a aceleração, é só substituir os valores conhecidos:

1,0   . 1 2 + 4,0 . 1 2 - 5,0 . 10 = 1,0 + 4,0 + 5,0 . a

a = - 2,5 m / s 2

Achamos um valor negativo, pois essa aceleração aponta para baixo, no caso do bloco 2 .

Para determinar a componente horizontal da aceleração da caixa 3 , basta decompor, teremos:

a 3 x ' = 2,5 . cos 30   ( i ^ )

a 3 x ' = 2,16   i ^   m / s 2

Resposta

a )

m 3 . g . sen θ - T 2 = m 3 . a T 2 + m 1 . g . sen θ - T 1 = m 1 . a T 1 - m 2 . g = m 2 . a

m 2 = 2,5   k g

b ) N 1 = 34,6   - j ^ N

c ) a 3 x ' = 2,16   i ^   m / s 2

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