Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

Elaboração Própria

Determine o polinômio de Taylor de grau 3 da função f x = cos x 2 no ponto x = π 2

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x :

f ' x = - sen x 2 2 x = - 2 x sen x 2

f ' ' x = - 2 sen x 2 - 2 x cos x 2 2 x = - 2 sen x 2 - 4 x 2 cos x 2

f ' ' ' x = - 2 cos x 2 2 x - 4 2 x cos x 2 - 4 x 2 - sen x 2 2 x = - 4 x cos x 2 - 8 x cos x 2 + 8 x 3 sen x 2

f ' ' ' x = - 12 x cos x 2 + 8 x 3 sen x 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f π 2 = cos π 2 2 = cos π 2 = 0

f ' π 2 = - 2 π 2 sen π 2 2 sen π 2 = 1 = - 2 π 2 = - 2 π

f ' ' π 2 = - 2 sen π 2 2 sen π 2 = 1 - 4 π 2 2 cos π 2 2 cos π 2 = 0 = - 2

f ' ' ' π 2 = - 12 π 2 cos π 2 2 cos π 2 = 0 + 8 π 2 3 sen π 2 2 sen π 2 = 1 = 2 3 π 2 3 = 2 π 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f π 2 = 0

f ' π 2 x - π 2 1 1 ! = - 2 π x - π 2

f ' ' π 2 x - π 2 2 2 ! = - 2 2 ! x - π 2 2 = - x - π 2 2

f ' ' ' π 2 x - π 2 3 3 ! = 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 3 π 2 = 0 - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Resposta

P 3 π 2 = - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

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