Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

Ciclos Termodinâmicos e Máquinas Térmicas

Certa quantidade de gás ideal, sendo n R   =   1,00   J / K , descreve o ciclo mostrado na figura ao lado. Os processos B C e D A são adiabáticos e os processos A B e C D são isobáricos. Dados p o   =   3,00   x 10 3   P a   e V o   =   0,100 m 3 .

Obs.: (reproduza as tabelas no caderno de respostas).

  1. Determine os valores de temperaturas nos pontos A, B, C e D.
  2. Determine os valores de γ   ,   C V e   C p .
  3. Determine o trabalho W realizado, o calor Q recebido e a variação da energia interna ∆ E i n t do gás, para cada processo e preencha a tabela.
  4. O ciclo considerado descreve uma máquina térmica ou um refrigerador? Justifique.
  5. Calcule a eficiência (se for máquina), ou coeficiente de desempenho (se forrefrigerador).

Passo 1

a):

Primeiro vamos determinar T A apenas usando a equação dos gases:

T A = P A V A n R = p 0 V 0 n R = 3 x 10 3 . 0,1 1,00 = 3 x 10 2 = 300   K

Pra achar a temperatura de B , basta a gente aplica o Piviti-Povóto:

P A V A T A = P B V B T B → T B = P B V B P A V A . T A = T A . ( p 0 . 2 V 0 p 0 . V 0 = 2 T A = 600   K

T B = 600 K

Vamos usar Piviti-Povóto pra achar T c e T D :

P C V C T C = P B V B T B

T C = T B . P C V C P B V B = 600 . p 0 32 . 16 V 0 p 0 . 2 V 0 = 600.1 4 = 150 K

T C = 150   K

E:

P c V c T c = P D V D T D → T D = T C . P D V D P C V C = 150 . p 0 32 . 8 V 0 p 0 32 . 16 V 0 = 150.1 2 = 75   K

T D = 75 K

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Pra achar γ , a gente pode usar uma das transformações adiabáticas:

P b V b γ = P C V C γ

p 0 . 2 V 0 γ = p 0 32 . 16 V 0 γ

16 V 0 2 V 0 γ = 32

2 3 γ = 32 → 2 3 γ = 2 5

3 γ = 5 → γ = 5 3

Só que, como:

γ = C p C v = C v + R C v = 5 3

1 + R C v = 5 3

R C V = 2 3 → C v = 3 R 2

Então:

C p = C v + R = 5 R 2

Passo 3

c):

Vamos começar por B - C :

O processo é uma transformação adiabática. Logo:

Q B C = 0

∆ U B C = - W B C

Então, vamos calcular a variação de energia interna:

∆ U B C = n c v ∆ T = n c v T c - T B = 3 n R 2 T c - T b = 3 2 . n R 150 - 600 = - 3 2 . 1 . 450 = - 675 J

Então:

W B C = - ∆ U B C = - - 675 = 675   J

Processo C D :

É um processo isobárico. Então é muito fácil calcular o trabalho, porque ele é dado por:

W C D = p 0 32 . 8 V 0 - 16 V 0 = - p 0 V 0 4 = - 3 x 10 3 . 0,1 4 = - 0,75 x 10 2 = - 75 J

Além disso, o calor pode ser calculado por:

Q C D = n c p ∆ T = n . 5 R 2 T D - T C = 5 2 n R 75 - 150 = 5 2 . 1 . - 75 = - 187,5   J

E então:

∆ U C D = Q C D - W C D = - 187,5 - - 75 = - 112,5 J

Processo D A :

Outro processo adiabático, então:

Q D A = 0

∆ U D A = - W D A

Então, vamos fazer como na outra:

∆ U D A = n c v T A - T D = n 3 R 2 300 - 75 = 3 2 . n R 225 = 3 2 . 1 . 225 = 337,5 J

Então:

W D A = - ∆ U D A = - 337,5 J

Processo A B :

Finalmente, o processo A B , outro processo isobárico. Então:

W A B = p 0 2 V 0 - V 0 = p 0 V 0 = 3 x 10 3 . 0,1 = 300 J

Além disso:

Q A B = n c p T B - T A = n 5 R 2 600 - 300 = 5 2 n R 300 = 5 2 . 1 . 300 = 750 J

Então:

∆ U A B = Q A B - W A B = 750 - 300 = 450 J

Ufa! Acabamos. Vamos completar a tabela então:

Passo 4

d):

Pra saber isso, basta a gente calcular o trabalho total, a soma de todos os trabalhos. Se ele for positivo, é uma máquina térmica, se for negativo, é um refrigerador.

W c i c l o = 300 + 675 - 75 - 337,5 = 562,5 J > 0

Como o trabalho é maior que zero, isso é uma máquina térmica.

Passo 5

e):

O rendimento é calculado por:

ε = W c i c l o Q Q

Mas quem é o calor Q Q ?

É o calor despejado no sistema pela fonte quente. Como sabemos quem ele é? Bom, como é calor entrando no sistema, ele tem que ser positivo.

Então dê uma olhada na tabela.

Pela tabela, esse é o calor:

Q A B = 750 J = Q Q

Então:

ε = 562,5 750 = 0,75 = 75 %

Resposta

a):

T A = 300   K

T B = 600 K

T C = 150 K

T D = 75 K

b):

γ = 5 3

C v = 3 R 2

C p = 5 R 2

c):

d):

Máquina Térmica.

e):

ε = 75 %

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