Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

Gases Ideais, Teoria Cinética dos Gases, Primeira Lei da Termodinâmica, Ciclos Termodinâmicos e Máquinas Térmicas

A figura mostra o diagrama p   ×   V co ciclo ao qual são submetidos 1,2   m o l de um gás ideal diatômico ( n R = 10   J / K ) . As temperaturas nos pontos 1 e 2 são, respectivamente, T 1 = 300   K , T 2 = 600   K . Considere que a pressão no ponto 1 é 1,0   a t m ( 1,0   × 10 5   P a ) .

A massa molar do gás é 28,0   g / m o l .

a ) Para o gás no estado correspondente ao ponto 1 do diagrama, encontre a energia cinética média (translação e rotação) e a velocidade média quadrática das moléculas.

b ) Determine o volume e a pressão no ponto 2 . Encontre o volume e a temperatura no ponto 3 . (Complete a tabela)

c ) Determine a variação de energia interna, o calor e o trabalho para cada um dos processos representados na figura ( 1 - 2 ,   2 - 3 ,   3 - 1 ) e para o ciclo completo.

Passo 1

Quando falamos em gás ideal, devemos sempre lembrar da lei dos gases ideias:

P . V = n . R . T

E devemos prestar atençãoo se estamos tratando de uma gás monoatômico ou não!

a )

Para determinar a energia cinética média, devemos lembrar da fórmula:

E c = g 2 . k . T

Como estamos considerando um gás diatômico, sabemos que a quantidade de graus de liberdade é 5 .

E c = 5 2 . k .   T

Substituindo os valores, temos:

E c = 5 2 . 1,38 . 10 - 23 .   300

E c = 1,035.10 - 20   J

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Passo 2

Vamos agora determinar a velocidade média quadrática v r m s :

v r m s = 3 . R . T M

substituindo os valores, temos:

v r m s = 3 .   8,31   . 300 28,0 × 10 - 3

Cuidado com as unidades, deve estar tudo no mesmo sistema de medidas, no caso, estamos usando o S.I! Por isso tivemos que multiplicar a massa molar!

v r m s = 516,8   m / s

Passo 3

b )

Vamos primeiro reunir os dados que já temos:

P 1 = 1 × 10 5   P a

T 1 = 300   K

T 2 = 600   K

Pelo diagrama, podemos tirar as seguintes conclusões:

P 3 = P 1 = 1 × 10 5   P a

V 1 = V 2

Passo 4

Agora vamos calcular o volume no ponto 1 e 2 , que é o mesmo! Pela lei dos gases ideais, temos:

P 1 . V 1 = n .   R .   T 1

Substituindo os valores:

1 × 10 5   .   V 1 = 10 .   300

V 1 = 0,03   m 3

V 1 = V 2 = 0,03   m 3

Passo 5

Vamos agora determinar a pressão no ponto 2 . Pela lei dos gases ideais, temos:

P 2 . V 2 = n .   R .   T 2

Substituindo os valores:

P 2 .   0,03 = 10   .   600

P 2 = 200000

P 2 = 2   × 10 5   P a

Passo 6

Para determinar o volume no ponto 3 , devemos lembrar da equação para o processo adiabático:

P i . V i γ = P f . V f γ

Para um gás diatômico, temos que γ = 7 5 . Substituindo, temos:

P 2 .   V 2 7 5 = P 3 . V 3 7 5

2   × 10 5 .   0,03 7 5 = 1 × 10 5 .   V 3 7 5

V 3 = 0,05   m 3

Passo 7

Para terminar o item b , devemos utilizar a lei dos gases ideais para determinar a temperatura no ponto 3 :

P 3 . V 3 = n . R .   T 3

Substituindo os valores, temos:

1 × 10 5 .   0,05 = 10 . T 3

T 3 = 500   K

Pronto, agora é só colocar os valores na tabela!

Passo 8

c )

Para determinar a variação de energia interna, o calor e o trabalho, devemos nos lembrar da primeira lei da termodinâmica:

Q = W + Δ E

Para o processo 1 - 2 , sabemos que o trabalho realizado é zero, pois a expansão é isovolumétrica.

W 1 - 2 = 0

Passo 9

Vamos agora determinar o calor, que será igual a variação de energia interna, se liga!

Q = 0 + Δ E

Q = Δ E

Para determinar Q 1 - 2 , temos:

Q = n .   C v .   Δ T  

Onde C v é o calor específico molar a volume constante e, para o gás diatômico, é determinado por:

C v = 5 2 R

Substituindo na equação, temos:

Q 1 - 2   = 10 . 5 2 .   600 - 300

Ahh..na equação acima, juntamos n R , o valor 10 , não saiu da cartola!

Q 1 - 2 = 7500   J

Q 1 - 2 = Δ E 1 - 2 = 7500   J

Passo 10

Vamos agora analisar o processo 2 - 3 ! Como processo é adiabático, temos que a variação do calor é zero:

Q = 0

Ou seja:

Δ E = W

Vamos então determinar W 2 - 3 :

W 2 - 3 = - 5 2 . n . R . Δ T

Lembrando que o gás é diatômico, por isso temos 5 graus de liberdade!

W 2 - 3 = - 5 2 . 10 . ( 500 - 600 )

W 2 - 3 = 2500   J

Podemos ver pelo diagrama que o trabalho é de fato positivo!

Como temos uma redução na temperatura, sabemos que Δ E < 0 , portanto:

Δ E = - 2500   J

Passo 11

Vamos agora analisar o processo 3 - 1 . Visto que é um processo isobárico, determinaremos primeiro o trabalho realizado:

W = P . Δ V

W 3 - 1 = 1 × 10 5 . ( 0,03 - 0,05 )

W 3 - 1 = - 2000   J

Passo 12

Vamos agora determinar o calor, que para o gás diatômico, é:

Q = n . C p .   Δ T

Onde C p é o calor específico molar a pressão constante, e é dado por:

C p = C v + R

Como já calculamos C v , temos:

C p = 5 2 R + R

C p = 7 2 R

Substituindo na fórmula do calor, temos:

Q = n . 7 2 R . Δ T

Q 3 - 1 = 7 2 . 10 . ( 300 - 500 )

Q 3 - 1 = - 7000   J

Passo 13

Para a energia interna, teremos:

Q 3 - 1 = W 3 - 1 + Δ E 3 - 1

Δ E 3 - 1 = - 7000 - ( - 2000 )

Δ E 3 - 1 = - 5000   J

Passo 14

Como era de se espera, termos para o ciclo:

Δ E = Δ E 1 - 2 + Δ E 2 - 3 + Δ E 3 - 1

Δ E = 7500 - 2500 - 5000

Δ E = 0

Ou seja, devemos ter:

Q = W

Calculando o calor total do ciclo:

Q = Q 1 - 2 + Q 2 - 3 + Q 3 - 1

Q = 7500 + 0 - 7000

Q = 500   J

Analogamente, teremos para o trabalho:

W = W 1 - 2 + W 2 - 3 + W 3 - 1

W = 0 + 2500 = 2000

W = 500   J

Show! Agora é só montar a tabela!

Resposta

a )   E c = 1,035.10 - 20   J

v r m s = 516,8   m / s

b )  

c )  

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