Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

UERJ – Lista da 2ª Prova

Uma amostra de gás ideal se expande de uma pressão e volume iniciais de 32   atm e   1,0   L para um volume final de 4,0   L   .A temperatura inicial é 300   K . Se o gás for monoatômico e a expansão for isotérmica, quais são:

a A pressão final, P f ?

b A temperatura final, T f ?

c   O trabalho realizado pelo gás?

Refaça os itens anteriores para o caso em que a transformação é adiabática e o gás é monoatômico, e para o caso em que a transformação é adiabática e o gás é diatômico.

Dados:

-Constante dos Gases: R = 8,31   J/mol⋅K

-Pressão atmosférica: P a t m = 1,013 10 5   N / m 2

-Gás monoatômico:   C v = 3 R / 2 , C P = 5 R / 2

Passo 1

Bom galera, nessa questão vamos usar vários conceitos de gases ideias. Essa questão é dividida em três casos:

-Caso 1: Se o gás for monoatômico e a expansão for isotérmica.

Nesse caso, as equações e constantes que vamos precisar usar são essas:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2  ( Piviti-Povotó )

  W = V i V f p   d V

C v = 3 R / 2 , C P = 5 R / 2

-Caso2: Se a transformação for adiabática e o gás for monoatômico:

As equações e constantes são:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

W = V i V f p   d V

U = Q - W

U = 3 2 n R T

C v = 3 R / 2 , C P = 5 R / 2

-Caso3: Transformação é adiabática e o gás é diatômico.

As equações e constantes são:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

W = V i V f p   d V

U = Q - W

U = 5 2 n R T

C v = 5 R / 2 , C P = 7 R / 2

Além do mais, sempre é bom lembrar da equação geral dos gases:

P V = n R T

Bom, é isso! Mas não fique assustado, não vamos ter que refazer tudo em cada caso. Vamos fazer o primeiro caso e depois bastam algumas alterações nos outros dois (:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver os itens da questão para o caso 1 primeiro:

a Temos que achar a pressão final. Lembrando que a transformação é isotérmica, ou seja, a temperatura final é igual a inicial, nossos dados são esses:

V i = 1   L

V f = 4   L

P i = 32   atm

T i = T f = 300   K

P f = ?

Vamos substituir esses dados na equação:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Vamos simplificar logo uma coisa: as temperaturas antes e depois são iguais, então podemos cortá-las da equação:

P 1 V 1 = P 2 V 2   P 2 = P 1 V 1 V 2 = 32 1 4 = 8   atm

b Queremos saber a temperatura final... Mas lembra que a transformação é isotérmica? Logo, a temperatura final é igual à inicial e vale:

T f = T i = 300   K

c   Agora precisamos saber o trabalho que o gás realizou nessa transformação. A equação que usamos é a integral:

W = V i V f p   d V

Mas como calcular isso se a pressão e o volume variam constantemente numa transformação isotérmica? Segue o gráfico dessa transformação:

Bom, mas sabemos que a temperatura não varia! Vamos modificar essa integral para alguma que saibamos calcular. Usando a equação geral dos gases para isolar a pressão:

P V = n R T   P = n R T V

Substituindo na integral:

W = V i V f p   d V  

W = V i V f n R T V   d V

W = n R T V i V f d V V

W = n R T ln V f V i

W = P V ln V f V i

Notou o pulo do gato no final? Isso porque P V = n R T

Ótimo, pois temos o volume inicial e final. Substituindo na equação os valores V i = 1   L e V f = 4   L , P i = 32   atm , e convertendo as unidades:

W = P i V i ln V f V i

W = 32 atm 1 L ln 4 1

W = 32 10 5 Pa 1 10 - 3 m 3 ln 4

W 4,4   kJ

Ufa! Vamos agora aos outros casos.

Passo 3

-Caso2:

a   Como agora estamos lidando com uma transformação adiabática, vamos usar:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Com:

γ = C p C v = 5 2 3 2 = 5 3

Além disso, temos os mesmos valores iniciais para o estado que o passo anterior. Logo, aplicando os valores de pressão e volume que temos na equação, podemos encontrar a P 2 :

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ  

P 2 = P 1 V 1 γ V 2 γ

P 2 = 32 1 5 3 4 5 3

P 2 3,17   atm 

b   Eita, agora não podemos dizer que T 1 = T 2 , pois a transformação não é isotérmica! Então a gente vai ter que apelar pro Piviti-Povóto:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2  

T 2 = P 2 V 2 P 1 V 1 T 1

T 2 = 3,17 4 1 32 300

T 2 118,9   K

c   Bom, precisamos calcular o trabalho realizado por um gás numa transformação adiabática! Como o gás é monoatômico, usaremos:

W = - U = - 3 2 n R T

T   é fácil de ser obtido pois sabemos T 1 e T 2 :

T = 118,9 - 300 = - 181,1   K

E o n R pode ser obtido usando a equação geral dos gases e as condições iniciais(convertendo as unidades de pressão e volume):

P 1 V 1 = n R T 1  

P 1 V 1 T 1 = n R

n R = 32 10 5 Pa 1 10 - 3 m 3 300 10,7

Substituindo as duas quantidades na fórmula:

W = - 3 2 n R T

W = - 3 2 10,7 - 181,1

W 2,9   kJ

(:

Passo 4

-Caso3:

O caso 3 é bem similar ao caso 2. A única diferença é que o gás é diatômico. Sim, essa questão é um pouco repetitiva (u.u), mas ela nos ajuda a compreender as diferenças de cada transformação!

Vamos resolver o caso 3 mais rapidamente, lembrando-se de utilizar as mesmas condições de temperatura, volume e pressão iniciais que usamos nos outros:

a   Vamos usar, novamente, a equação:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Precisamos só recalcular o valor de γ para um gás diatômico:

γ = C p C v = 7 2 5 2 = 7 5

Aplicando esse e os outros valores na equação:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

P 2 = P 1 V 1 γ V 2 γ

P 2 = 32 1 7 5 4 7 5

P 2 4,6   atm

b   Vamos usar de novo Piviti-Povotó pra achar a temperatura final:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2  

T 2 = P 2 V 2 P 1 V 1 T 1

T 2 = 4,6 4 32 1 300

T 2 = 172,5 K

c   Novamente, como a transformação é adiabática, podemos escrever:

W = - U

Só que os gases diatômicos têm 5 graus de liberdade, como vimos na teoria, então:

W = - U

W = - 5 2 n R T

O   T   é fácil de calcular já que temos T 2 e T 1 :

  T = T 2 - T 1

Δ T = 172,5 - 300

Δ T = - 127,5

E o n R pode ser obtido usando a equação geral dos gases e as condições iniciais (convertendo as unidades de pressão e volume):

P 1 V 1 = n R T 1  

P 1 V 1 T 1 = n R

n R = 32 10 5 1 10 - 3 300 10,7

Logo, substituindo na equação do trabalho:

W = - 5 2 n R T

W = - 5 2 10,7 - 127,5

W = 3,4   kJ

Resposta

-Caso 1:

a   8   atm

b   300   K

c   4,4   kJ

-Caso 2:

a   3,17   atm

b   118,9   K

c   2,9   kJ

-Caso 3:

a   4,6   atm

b   172,5   K

c   3,4   kJ

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