Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

Teoria cinética dos Gases

Um gás ideal, inicialmente à pressão   p 0 , passa por uma expansão livre (adiabática, sem realização de trabalho externo - irreversível) até que seu volume final seja 3 vezes o inicial.

  1. Qual é a pressão do gás ao final da expansão livre?
  2. O gás é então, lenta e adiabaticamente comprimido de volta ao seu volume inicial. Após a compressão a pressão é 3 1 3 p 0 . Encontre a razão entre as capacidades térmicas a pressão e a volume constantes, γ , e determine a natureza do gás (mono, di ou poliatômico).
  3. Qual é a razão entre a energia de translação média de uma molécula no estado final (após compressão) e a mesma no estado inicial (antes da expansão)?

Passo 1

Primeiro vamos testar a primeira lei nesse caso. Como não há realização de trabalho nem transferência de calor:

∆ U = Q - W

∆ U = 0

Logo, isso quer dizer que a temperatura é constante.

Então, podemos usar a relação:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Com T 1 = T 2 :

P 1 V 1 = P 2 V 2

Logo:

P 2 = P 1 V 1 V 2 = p 0 V 1 3 V 1 = p 0 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Aqui vamos usar a lei:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Nós já sabemos as pressões finais e inciais, assim como os volumes. Então:

3 1 3 p 0 V 1 γ = p 0 3 3 V 1 γ → V 1 γ 3 1 3 = 1 3 . 3 γ V 1 γ

Cortando os volumes:

3 1 3 = 3 γ - 1   → 1 3 = γ - 1   → γ = 4 3

Como o γ tem esse valor, o gás é poliatômico.

Isso corresponde a g = 6

Passo 3

c):

A razão entre a energia de translação média final e inicial será igual a razão entre a energia interna final e a inicial.

A energia interna é dada por:

U = g 2 n R T

Isso é:

U i n t f U i n t i n i c i a l =   g 2 n R T f g 2 n R T i = T f T i

Mas a gente não sabe essas temperaturas. Porém, a gente sabe as pressões e volumes finais e iniciais.

Vamos usar a equação geral dos gases:

P V = n R T

Pra resolver isso.

No primeiro caso, usando a equação, a temperatura inicial era:

p 0 V 0 = n R T i   → T i = p 0 V 0 n R

Depois da expansão e compressão:

3 1 3 p 0 V 0 = n R T f → T f = 3 1 3 p 0 V 0 n R

Então a razão vai ficar:

U i n t f U i n t i n i c i a l =   g 2 n R T f g 2 n R T i = T f T i = 3 1 3 p 0 V 0 n R   p 0 V 0 n R = 3 1 3

Resposta

a):

p 0 3

b):

γ = 4 3 e poliatômico

c):

3 1 3

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