Exercícios Resolvidos de Primitivas

UFF - Cálculo IA - P3 Javier 2013.2 – 4

Uma função tem derivada de segunda ordem

f ' ' x = sen x 2 + 6 x

Encontre a expressão da f , sabendo que seu gráfico contém o ponto 0,1 e que em tal ponto a reta tangente é paralela à reta y = 3 x

Passo 1

De início, a gente já vê que trabalhamos com uma derivada de segunda ordem, de onde tiramos que esse é um problema com dois PVI’s. Vamos organizar isso tudo, se f contém o ponto 0,1 , significa que f x vale 1 quando x vale 0 , ou seja:

f 0 = 1

Da mesma forma, se quando x = 0 a reta tangente ao gráfico é paralela a 3 x , temos que a derivada nesse ponto valerá o mesmo que o coeficiente angular dessa reta, ou seja:

f ' 0 = 3

Esse é o problema que temos que resolver, por fim:

f ' ' x = sen x 2 + 6 x

f ' 0 = 3

f 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, vamos pensar na função f ' x que quando derivada vai gerar essa f ' ' x . Nesse caso, temos um seno (cuidado com o fato de que ele tem um x 2 dentro, não só x ) e um polinômio do primeiro grau.

Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um cosseno de mesmo argumento x 2 e um polinômio um grau acima, segundo grau:

f ' x = a cos x 2 + b x 2

Derivando:

f ' ' x = - a 2 sen x 2 + 2 b x

Comparando com a derivada..

f ' ' x = sen x 2 + 6 x

Teremos

a = - 2     ;     b = 3

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + C

Onde C é uma constante qualquer.

Passo 3

Usando a condição da derivada em x = 0 :

f ' 0 = 3

Teremos

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + C

f ' 0 = - 2 cos 0 2 + 3 0 2 + C = 3

- 2 cos 0 + 0 + C = 3

- 2 1 + C = 3

C = 3 + 2 = 5

Assim,

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + 5

Passo 4

Assim, vamos pensar na função f x que quando derivada vai gerar essa f ' x . Nesse caso, temos um cosseno (cuidado, novamente, com o fato de que ele tem um x 2 dentro), um polinômio do segundo grau e um de grau zero (a constante 5 ).

Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um seno de mesmo argumento x 2 e um polinômio um grau acima para cada um deles, terceiro e primeiro grau, respectivamente:

f x = d sen x 2 + e   x 3 + f x

Derivando:

f ' x = d 2 sen x 2 + 3 e x 2 + f

Comparamos com a f ' x :

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + 5

Assim, as constantes e a função serão:

d = - 4     ;     e = 1     ;     f = 5

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + D

Onde D é uma constante qualquer.

Passo 5

Usando a condição da derivada em x = 0 :

f 0 = 1

Teremos

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + D

f 0 = - 4 sen 0 2 + 0 3 + 5 0 + D = 1

- 4 0 + 0 + 0 + D = 1

D = 1

Assim, teremos finalmente:

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + 1

Resposta

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + 1

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