Exercícios Resolvidos de Princípio de Stevin e Manômetros

No dispositivo da figura, a leitura do manômetro é 30 k P a e a relação de áreas dos pistões é A 2 / A 1 = 2 . A pressão atmosférica no local é 700 m m H g . Estando o sistema em equilíbrio, pede-se a pressão p B na escala absoluta em m c a . Dados: γ   =   27000 N / m 3   ; a   =   100 c m ;   b = 80 c m ;   γ H g = 136000 N / m 3 ;   γ á g u a = 10.000 N / m 3 ;   A 1 / A H = 2 ;   α = 30 ° .

Passo 1

Acho essa questão super louca, a primeira vista ela parece impossível. Mas no fundo é tranquila e muito legal.

Então vamos começar a resolver ela.

Primeiro, o enunciado nos forneceu que o manômetro mediu 30   k P a . O que isso significa?

Lembra que o manômetro mede diferença de pressão, pois bem como ele está entre a região A e C , ele mediu a diferença de pressão entre as duas regiões, assim:

P c - P a = 30   k P a .

Bem, vamos começar fazendo a equação de pressão da região C para a região B .

Olha as regiões selecionadas de vermelho:

Começando pela região C , vamos montar a equação de pressão:

P C + γ . a + γ . b - γ . b = P B

Assim:

P C + γ . a = P B

Agora, vamos olhar as pressões nos pistões, analisando assim as regiões A e B .

Mas temos um problema nessa parte, não podemos montar um sistema de pressões, pois temos áreas diferentes e como vimos na teoria a equação foi montada a partir do equilíbrio de forças. Então devemos montar o equilíbrio de forças, lembrando que:

F = P . A

As forças atuantes são: força causada pela pressão P A , Força causada pela pressão P B , só que a pressão P B está dos dois lados, em um atuando em toda área A 1 e em outra apenas em A 1 - A H .

Pela segunda lei de Newton, temos F = 0 .

Assim, montando a equação de forças temos:

P A . A 2 + P B . A 1 - A H = P B . A 1

Beleza, agora temos duas equações, mas várias variáveis. Então vamos juntar todas as informações que temos:

A 2 / A 1 = 2 A 1 A H = 2 γ   =   27000 N / m 3 P c - P a = 30   k P a a   =   1,00   m

Vamos começar por essa última equação:

P A . A 2 + P B . A 1 - A H = P B . A 1

Usando as relações de áreas temos que A 2 = 2 . A 1 e A H = A 1 / 2 , vamos substituir isso na equação acima.

P A . 2 A 1 + P B A 1 - A 1 2 = P B . A 1

Podemos agora dividir tudo por A 1 ,e chegamos na seguinte equação:

2 . P A + P B 2 = P B

P A = P B 4

P B = 4 . P A

Agora, vamos recuperar aquela primeira equação que chegamos:

P C + γ . a = P B

Vamos substituir P B :

P C + γ . a = 4 P A

Agora, vamos usar a relação que P C - P A = 30   k P a .

Isolando P C , temos: P C = 30.000 + P A e substituindo esse valor na equação acima, temos:

30.000 + P A + γ . a = 4 P A

Isolando P A , chegamos em:

30.000 + γ . a = 3 P A

Agora podemos substituir os valores de γ e a , e assim encontrar o valor de P A .

P A = 10.000 + γ . a 3

P A = 10.000 + 27000.1 3

P A = 10.000 + 9.000

P A = 19.000  

Agora que temos P A , conseguimos descobrir P B :

P B = 4 . P A

P B = 76.000   P a  

Porém essa pressão não é a absoluta. E sim a efetiva, pois não leva em consideração a pressão atmosférica.

A primeira coisa que devemos fazer é passar a pressão atmosférica para P a s c a l .

A pressão correspondente por 700   m m de h g é:

P a t m = 136000   .   0,700

P a t m = 95200   P a

Agora podemos calcular a pressão absoluta:

P B a b s = P B + P a t m

P B a b s = 76.000 + 95.200

P B a b s = 171.200     P a

Chegamos na parte final. Agora precisamos apenas passar de pascal para m c a .

Para isso precisamos dividira pressão por γ á g u a

p B a b s = P B a b s γ á g u a = 171.200 10.000 = 17,12   m c a .

E pronto, longa né? Viu por que acho ela louca, mas bem legal, bora para a próxima!

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Resposta

p B a b s = 17,12   m c a

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