Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004

Sejam A,B e C pertencentes a um mesmo espaço amostral. Mostre que:

a) P A c B = 1 - P A B

b) P A ∪ B C = P A C + P B C - P A ∩ B C

Passo 1

Vamos lá! Uma coisa de cada vez

a) P A c B = 1 - P A B

Vamos desenvolver cada lado separadamente?

L.E: P A c B = P A c ∩ B P B

L.D.: P A B = P A ∩ B P B

P A c B = 1 - P A B →   P A c ∩ B P B = 1 - P A ∩ B P B

Bom, vamos supor que essa equação é verdadeira. Se for podemos passar tudo que for letra pra um lado e tudo o que for número (no caso só o 1 mesmo hehe) pro outro certo?

  P A c ∩ B P B + P A ∩ B P B = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos mexer nessa equação!

Como tem o mesmo denominador, vamos juntar o numerador:

  P A c ∩ B + P A ∩ B P B = 1

Epa! Essa soma aí.. Podemos escrever como:

P ( A c ∩ B ∪ A ∩ B ) P B = 1  

Agora se liga no diagrama:

Esses são os nossos eventos. Como não sabemos se eles são disjuntos ou não, colocamos o caso mais abrangente, ou seja, quando ele possuem interseção.

Vamos mostrar agora: A c ∩ B

E A ∩ B :

Com o diagrama conseguimos notar que :

A c ∩ B ∪ A ∩ B = B

Assim temos que:

P ( B ) P B = 1 = 1

Passo 3

b) P A ∪ B C = P A C + P B C - P A ∩ B C

Vamos olhar para cada lado separadamente:

Lado esquerdo:

P A ∪ B C = P A ∪ B ∩ C P C

Lado direito:

P A C + P B C - P A ∩ B C

Olhando para cada termo:

P A C = P A ∩ C P C

P B C = P B ∩ C P C

P A ∩ B C = P A ∩ B ∩ C P C  

Teremos assim no lado direito:

P A ∩ C P C + P B ∩ C P C - P A ∩ B ∩ C P C

Reescrevendo a expressão:

P A ∪ B ∩ C P C = P A ∩ C P C + P B ∩ C P C - P A ∩ B ∩ C P C

Supondo ser verdadeira essa expressão, vamos mudar de lado o termo negativo, lembrando de trocar o sinal:

P A ∪ B ∩ C P C +   P A ∩ B ∩ C P C = P A ∩ C P C + P B ∩ C P C

A ∪ B ∩ C ∪ [ A ∩ B ∩ C ) ] = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )

Vamos olhar para o diagrama para ver se é verdade:

Logo é verdadeiro!

Resposta

a) Verdadeira

b) Verdadeira

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