Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

PUCRIO-P2-2014.1-3

Sejam Equation e Equation v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

Equation

  1. Encontre a constante Equation que faz desta expressão uma densidade.
  2. Encontre a densidade marginal de Equation e de Equation

Passo 1

Pra que seja uma função de densidade, a integral da função tem que ser Equation .

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso... começando pelo Equation :

Equation

Equation

Equation

Assim:

Equation

Equation

Equation

E com os limites de integração:

Equation

Equation

Passo 3

Note que a integral em Equation fica assim:

Equation

Só que a parte de dentro é igualzinho a integral que calculamos para Equation (trocando Equation por Equation ). Então:

Equation

Assim, como a gente viu, o produto das duas tem que ser igual a Equation .

Equation

Equation

Equation

Passo 4

(b)

Densidade marginal de Equation é só resolver a integral abaixo.

Equation

Veja que estou integrando em Equation , pra fazer a marginal de Equation .

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...

Equation

Equation

Vou substituir isso dentro da integral.

Quando Equation e quando Equation .

Equation

Equation

Equation

Como Equation :

Equation

Passo 5

Pra marginal de Equation é a mesma ideia.

Equation

Vamos usar uma substituição simples aí de novo...

Equation

Equation

Quando Equation e quando Equation .

Equation

Equation

Equation

Como Equation :

Equation

Resposta

Equation

Equation

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