Intervalo de Confiança para Média com σ Conhecido

Teoria Completa

DEFINIÇÃO

Até aqui a gente viu que a gente pode estimar um parâmetro qualquer através de um valor amostral, certo? E aprendemos também a calcular n , ou seja, dimensionar a amostra e descobrir o número de elementos n que ela deve ter.

Mas, concorda comigo que esse processo de estimar um parâmetro é meio cheio de incertezas? O que garante que nossa estimativa é realmente próxima ao valor real? Parece meio complicado estimar corretamente o valor de um parâmetro.

Parece mais confiável por exemplo, definir um intervalo dentro do qual o real valor do parâmetro estaria, concorda?

O que a gente terá que fazer então é calcular um L i n f e um L s u p , ou seja, um limite inferior e um limite superior para o intervalo, de modo que:

P L i n f < θ < L s u p = 1 - α

Onde θ é o valor real do parâmetro.

Esse intervalo ( L i n f , L s u p ) é chamado de intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) %.

→ 100 1 - α % é o nosso nível de confiança.

Dia a dia: Sabe onde você sempre escuta sobre isso? Durante as eleições. Não sei se você já notou, mas sempre que os jornalistas vão passar as pesquisas de intenção de votos feitas pelo Ibope ou pelo Datafolha sei la, eles sempre falam o nível de confiança da pesquisa.

Obs:

  • Claro que quanto menor for a amplitude do intervalo de confiança, mais força terá a nossa afirmação.
  • Vou usar a notação I C para intervalo de confiança.

Assim como para dimensionar amostras, teremos 3 casos pra intervalos de confiança:

  1. I C para a média populacional, com o σ conhecido.
  2. I C para a média populacional, com o σ desconhecido.
  3. I C para a proporção populacional.

IC COM D.PADRÃO CONHECIDO

Aqui a gente vai encontrar um I C para a média populacional, conhecendo o valor de σ . Nosso ponto de partida vai ser o mesmo que a gente usou pra dimensionar a amostra.

P x ¯ - μ ≤ d = 1 - α

A diferença é que a fórmula...

n = z 1 - α 2 . σ d 2

... a gente não vai precisar usar pra calcular o n , porque a gente já vai saber o tamanho da amostra. Mass.... se a gente fizer uma matematicada com essa fórmula aí, a gente pode chegar numa fórmula para d .

d = z 1 - α 2 . σ n

Dia a dia: esse valor de d é, na linguagem jornalística, a margem de erro, aqueles pontos somados pra mais ou pra menos.

Aí, a gente tinha:

P x ¯ - μ ≤ d = 1 - α

Que vai virar:

P - d ≤ x ¯ - μ ≤ d = 1 - α

Que é a mesma coisa que dizer:

P x ¯ - d ≤ μ ≤ x ¯ + d = 1 - α

Opa, parece que chegamos num intervalo de confiança para a média populacional, μ .

P x ¯ - z 1 - α 2 . σ n ≤ μ ≤ x ¯ + z 1 - α 2 . σ n = 1 - α

L i n f = x ¯ - z 1 - α 2 . σ n

L s u p = x ¯ + z 1 - α 2 . σ n

E o nosso I C será:

I C = ( L i n f , L s u p )

Exemplo: Deseja-se estimar a resistência media de um certo tipo de fibra usada na fabricação de um tecido. Uma particular amostra aleatória de 40 espécimes da fibra tem uma média aritmética de 12,4 bar. Se o desvio padrão σ da população é conhecido e igual a 2,1 bar, determine um intervalo de confiança de 95 % para o verdadeiro valor da média populacional μ .

Passo1)Calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Passo2)Calcular d , sabendo que σ = 2,1   e n = 40 .

d = z 1 - α 2 . σ n

d = 1,96 × 2,1 40 = 0,65

Passo3) Determinar o I C , sabendo que x ¯ = 12,4 .

I C = x ¯ - d , x ¯ + d

I C = 12,4 - 0,65 ; 12,4 + 0,65

I C = 11,75 ; 13,05

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 362.

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades². Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores:

7,9       6,8       5,4       7,5       7,9       6,4       8,0       6,3       4,4         5,9

  1. Calcule a estimativa pontual da media populacional, com base nessa amostra.
  2. Determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança de 90 % .
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Passo 1

(a)

A estimativa pontual para a média populacional é qual? A média amostral, concorda?

Então, nossa estimativa pontual será:

x ¯ = 7,9 + 6,8 + … + 5,9 10 = 66,5 10 = 6,65

Passo 2

(b)

Temos que construir um I C com confiança de 90%.

Vamos calcular logo o valor de α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,9 → α = 0,1

z 1 - α 2 = z 0,95 = 1,64

Passo 3

(b)

O exercício diz que a variância populacional é 4 unidades², isso quer dizer que o desvio padrão populacional σ = 2 . Concorda?

Conhecendo o valor de σ , o nosso I C será dado pela fórmula:

I C = ( x ¯ - d , x ¯ + d )

I C = x ¯ - z 1 - α 2 . σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 . σ n

Vamos calcular então o valor de d :

d = z 1 - α 2 . σ n = 1,64 × 2 10 = 1,04

Nosso intervalo será:

I C = 6,65 - 1,04   ; 6,65 + 1,04

I C = ( 5,61   ; 7,69 )

Resposta

a   6,65

b   I C = ( 5,61   ; 7,69 )

Exercício Resolvido #2

PUC – 2014.1 – P4 -Intervalo de Confiança
  1. Uma máquina produz peças circulares cujos diâmetros D i devem obedecer uma determinada especificação em m m . Sabe-se que o desvio padrão nominal destas peças é conhecido e igual a 10   m m . Tomou-se uma amostra de 50 destas peças e observou-se que a média amostral dos diâmetros desta amostra D ¯ foi de 80   m m . Assumindo que os D i ' s são normalmente distribuídos. Qual é a o intervalo de confiança para o diâmetro médio das peças ao nível de confiança de 95 % .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que a gente sabe sobre os diâmetros das peças? A gente conhece o desvio padrão nominal:

σ = 10   m m

E sabe que com uma amostra de 50   peças, a gente tem uma média de:

x ¯ = 80   m m

E a gente quer um intervalo de confiança pra essa média, com nível de 95 % .

Passo 2

Como a gente conhece o desvio padrão, nosso I C vai ter a seguinte cara:

I C = x ¯ - d , x ¯ + d

Com:

d = z 1 - α 2 × σ n

Vamos calcular cada pedaço. Primeiro:

1 - α = 95 % → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975

Olhando na tabela da normal, a gente tem:

z 0,975 = 1,96

Passo 3

Agora a gente já tem todos os dados pra calcular o I C .

d = 1,96 × 10 50

d ≅ 2,77

E nosso I C finalmente, fica:

I C = 80 - 2,77   ; 80 + 2,77

I C = 77,23   ; 82,77

Resposta

a   I C = 77,23   ; 82,77

Exercício Resolvido #3

Lista Regina – CEFET Intervalo de Confiança

O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De experiências prévias com esse processo, sabe-se que o desvio-padrão do rendimento é igual a 3%. Os últimos cinco dias de operação do processo resultou nos seguintes rendimentos: 91,6%, 88,75%, 90,8%, 89,95% e 91,3%. Encontre um intervalo de confiança de 90% para o rendimento médio verdadeiro.

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Passo 1

Tá, vamos começar analisando os dados que o problema nos deu.

A primeira coisa que a gente tem de informação, é o desvio padrão:

σ = 3 %

Depois disso o problema nos dá uma amostra de cinco dias e pede um intervalo de confiança para a média.

Já que a gente sabe o valor de σ , estaremos tratando de um I C para média, com desvio padrão conhecido, que como a gente viu, tem o seguinte formato:

I C = ( L i n f , L s u p )

L i n f = x ¯ - z 1 - α 2 . σ n

L s u p = x ¯ + z 1 - α 2 . σ n

Passo 2

Vamos calcular a média amostral primeiramente:

x ¯ = 91,6 % + 88,75 % + … + 91,3 % 5 = 90,48

Passo 3

Vamos calcular α e z 1 - α 2 .

Como o intervalo é de 90%...

1 - α = 0,9

α = 0,1

e...

z 1 - α 2 = z 0,95

Olhando na tabela da normal, você observa que:

z 0,95 = 1,65

Passo 4

Agora calculamos os limites do intervalo:

L i n f = 90,48 - 1,65 × 3 5

L i n f ≅ 88,26

e...

L s u p = 90,48 + 1,65 × 3 5

L s u p ≅ 92,69

Concluindo, nosso intervalo de confiança para média verdadeira será:

I C = ( 88,26 ; 92,69 )

Podemos escrever também que:

P 88,26 ≤ μ ≤ 92,69 = 0,90

Resposta

I C = ( 88,26 ; 92,69 )

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Uma máquina de bebidas está regulada de modo a servir uma quantidade de líquido normalmente distribuído com desvio padrão 20   ml . Sabendo que numa amostra aleatória de 36 bebidas se obteve uma média de 250   ml .

  1. Construa um intervalo de confiança a 95 % para a verdadeira média.
  2. Qual deveria ser o tamanho de amostra para obter uma amplitude aproximadamente 11,5?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Vamos ver os dados do exercício.

A gente tem uma amostra com n = 36 e com média amostral x ¯ = 250 .

A gente sabe também o desvio padrão populacional σ = 20 .

O nosso intervalo de confiança tem que ser de 95% de confiança para a média populacional, com isso a gente pode calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 2

Como a gente conhece o valor de σ , nosso intervalo será:

I C = ( x ¯ - d , x ¯ + d )

I C = x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n

Agora é fazer contas.

x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n = 250 - 1,96 × 20 36 = 243,47

x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n = 250 + 1,96 × 20 36 = 256,53

Então nosso intervalo é:

I C = ( 243 , 4 7   ; 256,53 )

Passo 3

(b)

Pensa comigo, o nosso intervalo de acordo com a fórmula é:

I C = x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n

O que seria a amplitude? Amplitude seria o ponto final menos o ponto inicial do intervalo, concorda?

Se você fizer essa conta com o nosso intervalo, vai descobrir que.

Amplitude = 2 × z 1 - α 2 ⋅ σ n

Passo 4

Se o exercício diz que a amplitude é 11,5. Pra descobrir o valor de n é só substituir.

11,5 = 2 × z 1 - α 2 ⋅ σ n

11,5 = 2 × 1,96 × 20 n

n = 2 × 1,96 × 20 11,5 2

n = 46,47

Como n tem que ser inteiro:

n = 47

Resposta

a   I C = ( 243,4 7   ; 256,53 )

b   47

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que o desvio padrão populacional é igual a 5 horas. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo-se média de 500 horas. Construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de confiança de 95 % .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro calculamos o nível de significância α , que é complementar do nível de confiança, então:

1 - α = 0,95

α = 0,05

Então:

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Pelo enunciado temos que:

σ = 5

n = 100

x - = 500

Passo 2

Substituindo todos os valores na fórmula do I C :

I C = x - ∓ z 1 - α 2   σ n

= 500 ∓ 1,96   5 100 = 500 ∓ 0,98

I C = 499,02 ; 500,98

Passo 3

Resposta

I C = 499,02 ; 500,98

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