Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

Teoria Completa

Estávamos falando de um caso, onde tínhamos uma empresa querendo comprar imãs, que podiam ser do país A ou do país B. Na questão, precisávamos saber de qual país era a amostra de 25 unidades para fazer a oferta no leilão, lembram?

Montamos assim:

Hipótese Nula H 0 : Os imãs são de origem B

H 0 :   μ = 155   e   σ = 20

Hipótese Alternativa ( H 1 ) : Os imãs são de origem A

H 1 :   μ = 145   e   σ = 12

E definimos como

P e r r o I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   A   q u a n d o   s ã o   d e   B = P x - ≤ 150 o   p a í s   p r o d u t o r   é   B )

P e r r o I = P x - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e i r a = α

P e r r o I I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   B   q u a n d o   s ã o   d e   A = P x - ≥ 150 o   p a í s   p r o d u t o r   é   A

P e r r o I I = P x - ∋ R C H 1   é   v e r d a d e i r a = β

Obs.: A nossa região crítica era:

Como a média e o desvio foram dados, nessa questão queremos saber qual a probabilidade de cometermos esses erros.

- Cálculo das probabilidades

a) Se H 0 é verdadeira (os imãs são de B), pelo Teorema Central do Limite a distribuição de x -   é dada por:

x -   ~   N ( 155 , 20 2 25 )

Opa! DE ONDE VEIO ISSO?

Lembra que pelo Teorema Central do Limite falamos que

x -   ~   N ( μ , σ 2 n )

Onde μ é a média; σ 2 é a variância e n é o tamanho da amostra.

Continuando...

Se queremos calcular o erro I:

P e r r o I = P x - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e i r a

P e r r o I = P x - ≤ 150 x -   ~   N ( 155,16 ) )

Padronizando

P e r r o I = P x - - 155 4 ≤ 150 - 155 4

Epa! Calma que é só isso aqui ô

Então...

P e r r o I = P ( Z ≤ - 1,25 )

E pela tabela da normal, sabemos que

P Z ≤ - 1,25 = 0,1056 → 10,56 %

A probabilidade de ser A quando afirmamos ser B é 10,56 % .

b) Se H 1   é verdadeira (os imãs são de A), pelo TCL a distribuição de x - é:

x -   ~   N 145 , 12 2 25

(Mesmo esquema da letra a ein!)

Então

P e r r o I I =   P x - ∋ R C H 1   é   v e r d a d e i r a

P e r r o I I = P x - ≥ 150 x -   ~   N 145 ; 5,76

Padronizando

P e r r o I I = P x - - 145 2,4 ≥ 150 - 145 2,4

P e r r o I I = P Z ≥ 2,08

Pela tabela normal temos que

P e r r o I I = P Z ≥ 2,08 = 0,01876 = 1,88 %

Portanto a probabilidade de dizermos que é de B quando é de A é de 1,88%.

Tranquilo? Vamos olhar numa tabelinha:

Mas nem sempre vamos querer saber a probabilidade dos erros... às vezes vamos querer saber qual é a região crítica para conseguir avaliar como ele deve decidir.

Note que nestes casos ao invés da icógnita ser α   e   β ela será x o . (Isso vai acontecer em VÁRIAS questões!)

Ex.:

Se sabemos que α = 5 % , qual será o ponto crítico?

α = P e r r o I = P x - ≤ x c -   x -   ~   N ( 155,16 ) )

0,05 = P x - - 155 4 ≤ x c - - 155 4

0,05 = P Z ≤ x c - - 155 4 = P ( Z ≤ y )

Como estamos trabalhando como uma distribuição normal, precisamos ver na tabela quem é y, ou seja, qual número substituindo na expressão por y, teremos uma probabilidade igual a 0,05.

No caso temos que

y = - 1,654

x c - - 155 4 = - 1,654  

x c - = 148,42

Atenção!

Nesse caso só tínhamos uma região crítica, pois estabelemos que x - ≤ x c - . Contudo em casos BILATERAIS, ou seja, quando o enunciado não diz absolutamente nada sobre a hipótese alternativa, restando apenas a informação de que ela deve ser diferente de H 0 as coisas serão um pouco diferente. Percebe só:

Ex.: Um estudo mostra que pessoas felizes comem uma média de 500g barras de chocolate por dia, com desvio padrão de 20g. Uma amostra com 100 pessoas quer verificar tal hipótese.

H 0 : μ = 500 g

H 1 : μ ≠ 500 g

H 1 é a hipótese que mostra que existem pessoas felizes que comem mais de 500g ou menos de 500g. Portanto se adotarmos nosso nível de significância α = 0,1 sabemos que serão divididas em duas regiões.

Teremos dois casos que nos levarão para duas regiões críticas

  • μ < 500
  • x -   ~   N ( 500 ; 20 2 100 )  

    α 2 = P e r r o I = P x - < x c -   x -   ~   N ( 500,4 ) )

    0,05 = P x - - 500 4 < x c - - 500 4

    0,05 = P Z < x c - - 500 2

    Muitos livros chamam isso de

    x c - - 500 2 = Z α 2

    Temos que usar a tabela da normal para descobrir quem é Z α 2 = Z 0,05  

    P Z < Z 0,05 = 1 - P Z > Z - 0,95 = 0,05

    Z - 0,95 = - 1,64

    Então

    x c - - 500 2 = - 1,64

    x c - = 496,72

  • μ > 500

x -   ~   N ( 500 ; 20 2 100 )  

α 2 = P e r r o I = P x - > x c 2 -   x -   ~   N ( 500,4 ) )

0,05 = P x - - 500 4 > x c 2 - - 500 4

0,05 = P Z > x c 2 - - 500 2

Muitos livros chamam isso de

x c 2 - - 500 2 = Z 1 - α 2

Temos que usar a tabela da normal para descobrir quem é Z 1 - α 2 = Z 0,95  

Z 0,95 = 1,64

Assim

x c 2 - - 500 2 = 1,64

x c 2 - = 503,28

Tranquilo?

Agora vamos fixar isso aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 372.

A duração da carga das baterias recarregáveis de notebooks de uma certa marca pode ser encarada como uma variável aleatória com distribuição Normal de média 180 minutos e desvio padrão de 40 minutos. Existe uma falsificação do mesmo produto quase perfeita, mas nesse caso a duração da carga da bateria é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 150 minutos e o mesmo desvio padrão anterior. Um montador de notebooks recebe 25 baterias dessa marca. Entretanto, ele tem dúvidas quanto à precedência das baterias. Como ele poderia decidir se as baterias são originais ou falsificadas? Fixe α = 0,05 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, pra gente ver o que ele poderia decidir a gente tem que saber qual será a região de aceitação e a região crítica da hipótese nula, achar o valor de corte. Pra isso, a gente segue aquela rotina lá até o passo que a gente acha essas paradas.

Primeiro definimos H 0 e H 1 .

H 0 :   μ = 180

H 1 :   μ = 150

Temos que α = 0,05 .

Passo 2

Qual é a nossa estatística de teste?

Z = x ¯ - 180 40 25

Concorda? Pois é um teste pra média populacional e a gente conhece o desvio padrão populacional.

A gente sabe que a região de rejeição para esse caso é: Z < z α .

z 0,05 = - z 0,95 = - 1,64

Passo 3

Pra gente achar o x ¯ de corte é só a gente fazer então:

P Z < x ¯ - 180 40 25 = - 1,64

Vamos achar o valor de corte.

x c ¯ - 180 40 25 = - 1,64

x ¯ c = 166,88

Passo 4

A região de rejeição é então x ¯ < 166,88 e a de aceitação é x ¯ ≥ 166,88 .

Com isso podemos dizer que ele deveria rejeitar H 0 se x ¯ < 166,88 , caso contrário, deveria aceitar H 0 .

Resposta

Exercício Resolvido #2

Teste de Hipótese

O Recursos Humanos de uma dada companhia afirma que o salário médio de uma dada região é de R $   1.200,00 . Para testar esta hipótese, retirou-se uma amostra de 100 trabalhadores desta região e obteve-se um salário médio de R $   1.156,00 e desvio padrão de R $   89,00 . Determinar se a hipótese é aceitável a um nível de significância de 5 % .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, pra gente ver o que ele poderia decidir a gente tem que saber qual será a região de aceitação e a região crítica da hipótese nula, achar o valor de corte. Pra isso, a gente segue aquela rotina lá até o passo que a gente acha essas paradas.

Primeiro definimos H 0 e H 1 .

H 0 :   μ = 1.200   ( f i r m a )

H 1 :   μ = 1.156

Temos que α = 0,05 .

Passo 2

Qual é a nossa estatística de teste?

Z = x ¯ - 1.200 89 100

Concorda? Pois é um teste pra média populacional e a gente conhece o desvio padrão populacional.

Passo 3

Como estamos no primeiro caso lá dos nossos três casos:

H 0 :   μ = μ 0       v e r s u s       H 1 :   μ ≠ μ 0

Temos região crítica:

Z < z α 2     o u     Z > z 1 - α 2

z < z 0,025   o u   z > z 0,975

Olhando na tabela...

z < - 1,96         o u       z > 1,96

Fazendo agora:

x ¯ - 1.200 89 100 = 1.156 - 1.200 89 100 = - 4,94

Então nosso valor está dentro da região crítica e sendo assim, a hipótese não é aceitável.

Resposta

A   h i p ó t e s e   n ã o   é   a c e i t á v e l

Exercício Resolvido #3

UFRJ, ProbEst, P2/2014.1, 4

Pretende-se realizar um teste de hipótese de H 0 :   μ ≥ 10 versus H 1 :   μ < 10 com n = 25 ,

σ x = 3 e α = 0,1 .

  1. Aponte a estatística de teste e o critério de decisão (ou seja, as regiões de rejeição e de aceitação) a serem usados.
  2. Diga, no contexto de teste de hipóteses, o que são: o e r r o   I e o e r r o   I I . Determine a P e r r o   d e   t i p o   I I para μ = 8,5 .
  3. Que decisão deve ser tomada se x = 8,2 nesta amostra com 25 elementos.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Levando em consideração que σ = 3 , n = 25 , α = 0,1 .

Determinamos as hipóteses:

H 0 :   μ = 10             H 1 :   μ < 10

Estariamos no terceiro caso, beleza?

Nossa estatística de teste será:

Z = x ¯ - 10 3 25

Z tem distribuição N ( 0 ; 1 ) . Podemos usar a tabela da Normal.

Passo 2

Pra esse caso a gente sabe que a regiao de rejeição é definida por:

Z < z α

z α = z 0,1 = - z 0,9

Usando tabela, - z 0,99 = - 1,28 . Então:

z < - 1,28

Passo 3

Substituindo em Z para achar a região de rejeição:

Z = x ¯ - 10 3 25 < - 1,28

x ¯ < 10 - 1,28 × 3 5

x ¯ < 9,23

A gente considera que x ¯ = 9,23 é o valor de corte. A região de rejeição é x ¯ < 9,23   e a de aceitação é x ¯ > 9,23 .

Passo 4

(b)

A gente sabe que E r r o   I é rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira e E r r o   I I é aceitar H 0 quando H 0 é falsa.

A P [ E r r o   I I ] é obtida supondo μ = 8,5 . Esse é o erro de aceitar H 0 quando H 0 é falsa.

Temos que calcular a probabilidade do novo x ¯ c (de corte) ser menor do que o 9,23 que foi o x ¯ c que a gente encontrou.

P x ¯ < 9,23 =   ?

Padronizando:

P Z < 9,23 - 8,5 3 5 = P Z < 1,22

Usando a tabela da Normal:

Φ 1,22 = 0,8888

Passo 5

(c)

Teríamos que x ¯ o b s = 8,2 .

Como esse valor é menor que 9,23 estaria dentro da região de rejeição.

Então, a decisão seria rejeitar a hipótese H 0 .

Resposta

a   R e g i ã o   d e   r e j e i ç ã o → x ¯ < 9,23

c   R e j e i t a r   a   h i p ó t e s e   H 0

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