Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

Teoria Completa

Estávamos falando de um caso, onde tínhamos uma empresa querendo comprar imãs, que podiam ser do país A ou do país B. Na questão, precisávamos saber de qual país era a amostra de 25 unidades para fazer a oferta no leilão, lembram?

Montamos assim:

Hipótese Nula H 0 : Os imãs são de origem B

H 0 :   μ = 155   e   σ = 20

Hipótese Alternativa ( H 1 ) : Os imãs são de origem A

H 1 :   μ = 145   e   σ = 12

E definimos como

P e r r o I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   A   q u a n d o   s ã o   d e   B = P x - ≤ 150 o   p a í s   p r o d u t o r   é   B )

P e r r o I = P x - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e i r a = α

P e r r o I I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   B   q u a n d o   s ã o   d e   A = P x - ≥ 150 o   p a í s   p r o d u t o r   é   A

P e r r o I I = P x - ∋ R C H 1   é   v e r d a d e i r a = β

Obs.: A nossa região crítica era:

Como a média e o desvio foram dados, nessa questão queremos saber qual a probabilidade de cometermos esses erros.

- Cálculo das probabilidades

a) Se H 0 é verdadeira (os imãs são de B), pelo Teorema Central do Limite a distribuição de x -   é dada por:

x -   ~   N ( 155 , 20 2 25 )

Opa! DE ONDE VEIO ISSO?

Lembra que pelo Teorema Central do Limite falamos que

x -   ~   N ( μ , σ 2 n )

Onde μ é a média; σ 2 é a variância e n é o tamanho da amostra.

Continuando...

Se queremos calcular o erro I:

P e r r o I = P x - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e i r a

P e r r o I = P x - ≤ 150 x -   ~   N ( 155,16 ) )

Padronizando

P e r r o I = P x - - 155 4 ≤ 150 - 155 4

Epa! Calma que é só isso aqui ô

Então...

P e r r o I = P ( Z ≤ - 1,25 )

E pela tabela da normal, sabemos que

P Z ≤ - 1,25 = 0,1056 → 10,56 %

A probabilidade de ser A quando afirmamos ser B é 10,56 % .

b) Se H 1   é verdadeira (os imãs são de A), pelo TCL a distribuição de x - é:

x -   ~   N 145 , 12 2 25

(Mesmo esquema da letra a ein!)

Então

P e r r o I I =   P x - ∋ R C H 1   é   v e r d a d e i r a

P e r r o I I = P x - ≥ 150 x -   ~   N 145 ; 5,76

Padronizando

P e r r o I I = P x - - 145 2,4 ≥ 150 - 145 2,4

P e r r o I I = P Z ≥ 2,08

Pela tabela normal temos que

P e r r o I I = P Z ≥ 2,08 = 0,01876 = 1,88 %

Portanto a probabilidade de dizermos que é de B quando é de A é de 1,88%.

Tranquilo? Vamos olhar numa tabelinha:

Mas nem sempre vamos querer saber a probabilidade dos erros... às vezes vamos querer saber qual é a região crítica para conseguir avaliar como ele deve decidir.

Note que nestes casos ao invés da icógnita ser α   e   β ela será x o . (Isso vai acontecer em VÁRIAS questões!)

Ex.:

Se sabemos que α = 5 % , qual será o ponto crítico?

α = P e r r o I = P x - ≤ x c -   x -   ~   N ( 155,16 ) )

0,05 = P x - - 155 4 ≤ x c - - 155 4

0,05 = P Z ≤ x c - - 155 4 = P ( Z ≤ y )

Como estamos trabalhando como uma distribuição normal, precisamos ver na tabela quem é y, ou seja, qual número substituindo na expressão por y, teremos uma probabilidade igual a 0,05.

No caso temos que

y = - 1,654

x c - - 155 4 = - 1,654  

x c - = 148,42

Atenção!

Nesse caso só tínhamos uma região crítica, pois estabelemos que x - ≤ x c - . Contudo em casos BILATERAIS, ou seja, quando o enunciado não diz absolutamente nada sobre a hipótese alternativa, restando apenas a informação de que ela deve ser diferente de H 0 as coisas serão um pouco diferente. Percebe só:

Ex.: Um estudo mostra que pessoas felizes comem uma média de 500g barras de chocolate por dia, com desvio padrão de 20g. Uma amostra com 100 pessoas quer verificar tal hipótese.

H 0 : μ = 500 g

H 1 : μ ≠ 500 g

H 1 é a hipótese que mostra que existem pessoas felizes que comem mais de 500g ou menos de 500g. Portanto se adotarmos nosso nível de significância α = 0,1 sabemos que serão divididas em duas regiões.

Teremos dois casos que nos levarão para duas regiões críticas

  • μ < 500
  • x -   ~   N ( 500 ; 20 2 100 )  

    α 2 = P e r r o I = P x - < x c -   x -   ~   N ( 500,4 ) )

    0,05 = P x - - 500 4 < x c - - 500 4

    0,05 = P Z < x c - - 500 2

    Muitos livros chamam isso de

    x c - - 500 2 = Z α 2

    Temos que usar a tabela da normal para descobrir quem é Z α 2 = Z 0,05  

    P Z < Z 0,05 = 1 - P Z > Z - 0,95 = 0,05

    Z - 0,95 = - 1,64

    Então

    x c - - 500 2 = - 1,64

    x c - = 496,72

  • μ > 500

x -   ~   N ( 500 ; 20 2 100 )  

α 2 = P e r r o I = P x - > x c 2 -   x -   ~   N ( 500,4 ) )

0,05 = P x - - 500 4 > x c 2 - - 500 4

0,05 = P Z > x c 2 - - 500 2

Muitos livros chamam isso de

x c 2 - - 500 2 = Z 1 - α 2

Temos que usar a tabela da normal para descobrir quem é Z 1 - α 2 = Z 0,95