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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 9.Problemas - 41

Se X ~ b ( n ,   p ) , prove que E X = n p e   V a r ( X ) = n p q .

(Sugestão: calcule E ( X ) e V a r ( X ) para n   =   1 ,   2 ,   . . .   e t c .)

Passo 1

Vamos lá!

n=1

E X = 0 × P X = 0 + 1 × P X = 1 = 1 1 × p × 1 - p 0 = p

V a r X = E X 2 - E X 2 = p - p 2 = p 1 - p

n=2

                              E X = 0 × P X = 0 + 1 × P X = 1 + 2 × P X = 2 =

                              = 2 1 × p × 1 - p + 2 2 × p 2 × 1 - p 0 =

                              = 2 p × 1 - p + 2 p 2 = 2 p

                                V a r X = E X 2 - E X 2 = 2 p 2 + 2 p - 4 p 2 = 2 p ( p - 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A prova agora será por indução:

Suponha válido para n-1, isto é:

E X n - 1 = ∑ x = 1 n - 1 x n - 1 x p x q n - x - 1 = n - 1 p

E vamos provar que E X n = n p .

Mas pelo fato de que p + q = 1 , obtém-se que:

p + q n - 1 = ∑ x = 1 n - 1 x n - 1 x p x q n - x - 1 = 1

Multiplicando a primeira expressão por p + q , a segunda por p , e somando-se os resultados, obtém-se:

n p = E X n - 1 + p = p + q × E X n - 1 + p + q n - 1 × p

Basta provar que o último termo é E X n :

q × E X n - 1 = ∑ x = 0 n - 1 x n - 1 x p x q n - x

p × E X n - 1 = ∑ x = 0 n - 1 x n - 1 x p x q n - x - 1

p × p + q n - 1 = ∑ x = 0 n - 1 n - 1 x p x + 1 q n - x - 1

Portanto,

p × E X n - 1 + p × p + q n - 1 = ∑ x = 0 n - 1 n - 1 x p x + 1 q n - x - 1 [ x + 1 ]

Então:

q × E X n - 1 + p × E X n + 1 + p × p + q n - 1 = ∑ x = 0 n - 1 x n - 1 x p x q n - x +

+ ∑ x = 0 n - 1 x + 1 n - 1 x p x + 1 q n - x - 1 = A

Passo 3

Separando o primeiro termo do primeiro somatório e o último do segundo, tem-se:

A = 0 × q n + ∑ x = 0 n - 1 x n - 1 x p x q n - x + ∑ x = 0 n - 2 x + 1 n - 1 x p x + 1 q n - x - 1 + n × p n

O coeficiente de p k q n - k , para k=1, 2, ..., n-1, será a soma do coeficiente do promeiro somatório quando x = k e do segundo somatório quando x + 1 = k , ou seja, x = k - 1 , logo é igual a:

k × n - 1 k + k × n - 1 k - 1 = k × n - 1 k + n - 1 k - 1 =

= k × n - 1 ! k ! n - k ! + n - 1 ! k - 1 ! n - k ! = k × n - 1 ! k ! n - k ! n - k + k =

= k × n - 1 ! n k ! n - k ! = k × n ! k ! n - k ! = k n k

Substituindo em A, vem:

A = 0 × q n + ∑ k = 1 n - 1 k n k p k q n - k + n × p n = ∑ k = 0 n k p k q n - k = E ( X | n )

Como queríamos provar.

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