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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 12.Problemas - 25

A precipitação pluviométrica anual numa certa região tem desvio padrão σ   =   3,1   e média

desconhecida. Para os últimos 9 anos, foram obtidos os seguintes resultados:

30,5; 34,1; 27,9; 35,0; 26,9; 30,2; 28,3; 31,7; 25,8.

(a) Construa um teste de hipóteses para saber se a média da precipitação pluviométrica

anual é maior que 30,0 unidades. Utilize um nível de significância de 5%.

(b) Discuta o mesmo problema, considerando σ desconhecido.

(c) Supondo que, na realidade, μ = 33,0, qual a probabilidade de tirarmos uma conclu-

são errada?

Passo 1

Vamos definir nossa variável: X = p r e c i p i t a ç ã o   p l u v i o m é t r i c a   a n u a l .

Do enunciado, temos:

σ 2 = 3,1 2

N = 9   a n o s

X - = 30,04

S 2 = 9,94

Considerando que a população seja normalmente distribuída.

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Passo 2

  1. Considerando que a variância seja conhecida e igual a 3,1 2 , usamos a seguinte aproximação para realizar o teste para a média:
  2. Z = X - - μ σ 2 n ~ N 0,1

    Teste de hipótese: H 0 :   μ = 30     e     H 1 :   μ > 30

    Vamos construir nossa região crítica: R C = z 0 ∈ R z 0 > z α = { z 0 > 1,64 }

    Lembrando que na distribuição normal, com RC unilateral, 0,5 - α = 0,45

    Teste sob H 0 :  

    z 0 = 30,04 - 30 3,1 2 9 = 0,0387

    Como z 0 = 0,0387 não pertence à região crítica, não rejeitamos H 0 , então não existem evidencias de que a precipitação média seja maior do que 30 unidades.

    Passo 3

  3. Testando a média, considerando que a variância populacional seja desconhecida, usamos a seguinte aproximação:
  4. T = X - - μ S 2 n ~ t n - 1 D i s t r i b u i ç ã o   d e   t - s t u d e n t   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

    Teste de Hipótese: H 0 :   μ = 30     e     H 1 :   μ > 30

    Nossa região critica: R C = t 0 ∈ R t 0 > t 0,05 ; 8 = t 0 > 1,860

    Lembrando que na distribuição de t-student, com RC unilateral, p 2 = α = 0,05 → p = 0,1 = 10 %

    Teste sob H 0 :

    t 0 = 30,04 - 30 9,94 9 = 0,0381

    Como t 0 = 0,0381 não pertence à RC, não rejeitamos H 0 e chegamos a mesma conclusão da letra A.

    Resposta

    1. = (b) aceitamos H 0 :   μ = 30  

  5. β = P a c e i t a r   H 0 H 0   é   f a l s a ) = P z 0   n ã o   p e r t e n c e   R C   H 0   é   f a l s a ) =

= P X - < 1,64   .   3,1 2 9 + 30 |   X - ~ N ( 33 ;   3,1 2 ) = P X - < 31,70 =

= P X - - 33 3,1 2 9 < 31,70 - 33 3,1 2 9 = P Z < - 1,25 = 0,5 - 0,39435 = 0,10565

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