Enunciado

Se X tiver densidade f(x) = 2x, 0 ≤   x   ≤ 1 e Y tiver densidade f(y) = y²/9,   0 ≤ y ≤ 3 e forem independentes, encontre a densidade de W = XY.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para pegar o que aconteceu lá na combinação das variáveis e encontrar a densidade. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a achar a função que junte as duas v.a. X e Y.

f x , y = 2 x y 2 9

A matriz do Jacobiano que leva a nossa função (x,y) para (z,w), com Z = X e W = XY é:

J =   ∂ x ∂ z ∂ x ∂ w ∂ y ∂ z ∂ y ∂ w

J =   1 0 - w z 1 z = 1 z

Logo, g z , w = 2 9 w  

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular a distribuição marginal em w!!

g w =   ∫ g z , w d z

g w =   ∫ 2 9 w d z

g w = 2 9 w

Resposta

g w = 2 9 w

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