Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Desconhecidos

Teoria Completa

2º caso: Variâncias populacionais desconhecidas

Agora vamos ter muita calma! Dentro do caso de variâncias populacionais desconhecidas, vamos ter muitos sub-casos. Eles vão ser:

- σ 1 2 e σ 2 2 desconhecidas e as amostras são maiores ou iguais a 30 .

- σ 1 2 e σ 2 2 desconhecidas e as amostras são menores que 30 . Nesse caso, vamos ter duas situações:

- Quando σ 1 2 = σ 2 2 .

- Quando σ 1 2 ≠ σ 2 2 .

Vamos ver cada um separadamente.

2.1) σ 1 2 e σ 2 2 desconhecidas e n   e   m ≥ 30 .

A única diferença desse caso para o caso com variância populacional conhecida vai ser a fórmula da estatística de teste. Quando as variâncias populacionais forem desconhecidas mas as amostras forem maiores que 30 , vamos usar:

Z t e s t e = x - 1 - x - 2 s 1 2 n + s 2 2 m

Ou seja, a única diferença é que agora vamos usar as variâncias amostrais s ² no lugar das populacionais σ ² . A padronização continua sendo a Z da Normal por que as amostras são suficientemente grandes! Para o resto do teste, seguimos o mesmo passo-a-passo feito anteriormente.

2.2) σ 1 2 e σ 2 2 desconhecidas, n 1   e   n 2 < 30 e σ 1 2 = σ 2 2 .

Vamos ver esse caso num exemplo:

“Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. O catalisador 1 está corretamente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele não mude o rendimento do processo. São coletados dados relativos a 8 observações de cada catalizador e os resultados são:

x - 1 = 92,255       s 1 = 2,39

x - 2 = 92,733       s 2 = 2,98

Há alguma diferença entre os rendimentos médios? Use α = 0,05 e considere que as variâncias populacionais são desconhecidas, mas iguais.”

1º Passo)

Definir nossas hipóteses:

H 0 :     μ 1 = μ 2

H 1 :     μ 1 ≠ μ 2

Já que queremos testar se existe diferença entre as médias, essas seriam nossas hipóteses.

2º Passo)

Calcular a estatística de teste, que agora seria dada por:

T t e s t e = x - 1 - x - 2 s c 1 n + 1 m

Agora vamos passar a usar a padronização T de Student ao invés da Normal, já que estamos num caso de amostras pequenas.

E quem é esse s c ? Como nossas variâncias populacionais tem valores iguais, apesar de virem de populações diferentes, parece razoável combinar as duas, certo?! Essa combinação é calculada por:

s c 2 = n - 1 s 1 2 + m - 1 s 2 2 n + m - 2

No nosso exemplo, teríamos então:

s c 2 = 8 - 1 2,39 2 + 8 - 1 2,98 ² 8 + 8 - 2 = 7,30

s c = 7,30 = 2,70

Então nossa estatística de teste é calculada por:

T t e s t e = 92,255 - 92,733 2,70 1 8 + 1 8 = - 0,35

3º Passo)

E agora, seguindo nossa ordem de seeempre, procuramos os pontos críticos! Vamos ver quais serão eles para cada tipo de teste.

Teste Bilateral

t c r i t i c o = ∓ t 1 - α 2 ;   v

Onde o grau de liberdade v = m + n - 2 . Para o nosso exemplo terímos então:

v = 8 + 8 - 2 = 14

E como α = 0,05 ...

t c r i t i c o = ∓ t 0,975 ;   14

Procurando esses pontos na tabela temos que:

- t c r i t i c o = - 2,145

+ t c r i t i c o = 2,145

Como nossa estatística de teste T t e s t e = - 0,35 , ela cai fora da região crítica:

Então nós não rejeitamos a hipótese nula, e podemos dizer que não existem diferenças entre os rendimentos médios dos catalisadores. Vamos ver agora quais seriam os pontos críticos para os outros tipos de testes.

Teste unilateral inferior

t c r i t i c o = - t 1 - α ;   v

Como estamos no caso INFERIOR, tudo que for MENOR que t c r i t i c o , será região crítica.

Teste unilateral superior

t c r i t i c o = t 1 - α ;   v

Como estamos no caso SUPERIOR, tudo que for MAIOR que t c r i t i c o , será região crítica.

Vamos agora ao último caso!

2.3) σ 1 2 e σ 2 2 desconhecidas, n 1   e   n 2 < 30 e σ 1 2 ≠ σ 2 2 .

Vamos ver o caso resolvendo um exemplo:

“Um artigo num jornal científico publicou as concentrações de arsênio, em partes por bilhão, na água potável consumina em 10 comunidades de uma região rural, e de 10 outras comunidades da região metropolitana. Foram encontrados os reguintes resultados sobre as duas regiões:

x - 1 = 12,5       s 1 = 7,63

x - 2 = 27,5       s 2 = 15,3

Desejamos determinar se há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre as comunidades. Teste essa hipótese a um α = 0,05 . É improvável que as regiões tenham a mesma variância populacional.”

1º Passo)

Definir nossas hipóteses:

H 0 :     μ 1 = μ 2

H 1 :     μ 1 ≠ μ 2

Já que queremos testar se existe diferença entre as médias, essas seriam nossas hipóteses.

2º Passo)

Calcular a estatística de teste, que agora seria dada por:

T t e s t e = x - 1 - x - 2 s 1 2 n + s 2 2 m

Agora nossas variâncias amostrais estão entrando separadas aí dentro, reparou? Não temos mais o s c .

Então nossa estatística de teste é calculada por:

T t e s t e = 12,5 - 27,5 7,63 ² 10 + 15,23 ² 10 = - 2,77

3º Passo)

E por fim, calculamos os famosos pontos críticos. Eles vão ser calculados da mesma forma que para o caso com variâncias iguais, a diferença vai ser o cálculo do grau de liberdade v . Vamos ver como fica issaê então!

Estamos em outro teste bilateral, então queremos os pontos:

t c r i t i c o = ∓ t 1 - α 2 ;   v

Porém, como foi dito, agora nosso grau de liberdade v é calculado de outra forma, por uma fórmula bem feia inclusive, não se assusta...

v = s 1 2 n + s 2 2 m 2 s 1 2 n 2 n - 1 + s 2 2 m 2 m - 1

Credo, né? Concordo, mas fazer o que... Substituindo os valores do enunciado aí, temos:

v = 7,63 ² 10 + 15,3 ² 10 2 7,63 ² 10 2 10 - 1 + 15,3 ² 10 2 10 - 1 = 13,2 ≈ 13

Seeeeempre vamos arredondar esse grau de liberdade para BAIXO, para sermos mais conservativos e porque precisamos de um número inteiro como v para usar a tabela T.

Então nossos pontos críticos, lembrando que α = 0,05 , são...

t c r i t i c o = ∓ t 0,975 ;   13

Procurando na tabela:

- t c r i t i c o = - 2,16

+ t c r i t i c o = 2,16

Então nosso T t e s t e = - 2,77 cai dentro da região crítica:

O que significa que rejeitamos a hipótese nula, ou seja, não podemos afirmar que as médias das concentrações são iguais!

Resumindo:

- Se o tamanho da amostra é grande o suficiente, não importa se as variâncias são iguais ou não, fazemos o teste do mesmo jeito que fazíamos para o caso em que as variâncias são conhecidas. Porém, para calcular a estatística de teste, usamos as variâncias amostrais no lugar das populacionais.

- Se a amostra não for grande, usamos a padronização T de Student. Se as variâncias forem iguais, usamos o grau de liberdade tradicional que sempre vinhamos usando. Se as variâncias forem desiguais, usamos aquela fórmula feiosa para o graus de liberdade.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma empresa realizou um estudo para avaliar o tempo médio de adaptação de funcionários recém formados e funcionários que atuam no mercado há mais tempo. Foram selecionados aleatoriamente: 46 recém formados, obtendo-se tempo médio de adaptação de 2,8 anos e desvio padrão de 0,6 anos; 46 funcionários que atuam no mercado há mais tempo, obtendo-se tempo médio de adaptação de 2,3 anos e desvio padrão de 0,7 anos.

Teste a hipótese da diferença entre esses tempos médios de adaptação ser nula. Use α = 0,05 .

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Passo 1

Estamos num caso de teste de hipótese para comparação entre médias com desvio padrôes populacionais desconhecidos, mas temos amostras bem grandes (maiores que 30) então podemos aproximar esse caso para o caso com σ ’s conhecidos!

Passo 2

Queremos testar se existe diferença entre as médias. Definindo nossas hipóteses:

H 0 :     μ 1 = μ 2

H 1 :     μ 1 ≠ μ 1

Então estamos num teste bilateral!

Passo 3

Calculando nossa estatística de teste:

Z t e s t e = x - 1 - x - 2 s 1 2 n + s 2 2 m

Lembrando que aproximamos para o caso com desvios padrões conhecidos, então a única diferença é que nossos σ viram s na fórmula. Substituindo os valores dados no enunciado:

Z t e s t e = 2,8 - 2,3 0,6 2 46 + 0,7 2 46 = 3,68

Passo 4

Agora podemos calcular nosso ponto crítico, que para o bilateral é:

z c r i t i c o = ∓ z 1 - α 2

Sabemos que α = 0,0 5 :

z c r i t i c o = ∓ z 1 - 0,05 2 = ∓ z 0,975

Procurando esse cara na tabela da Normal...

∓ z 0,975 = ∓ 1,96

E como estamos num teste bilateral, nossa região crítica é tudo que for menor que - 1,96 e tudo que for maior que 1,96 . Isso significa que nossa estatística de teste Z t e s t e , que vale 3,68 ,

Cai dentro da região crítica! Ou seja, rejeitamos a hipótese nula. =)

Resposta

Rejeita-se H 0 .

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Uma nova técnica de impressão 3D foi desenvolvida. Para comparar a eficiência entre a técnica tradicional e a nova foi feita a análise amostral de 14 cubos impressos pelo método tradicional (método 1) e de 10 cubos impressos pelo novo método (método 2). Resultando nos seguintes dados:

x - 1 = 121   m i n

s 1 = 16   m i n

x - 2 = 112   m i n

s 2 = 15   m i n

Ao nível de significância de 5%, podemos afirmar que a diferença nos tempos de secagem das técnicas é maior que 5   m i n ? Assuma que os desvios padrões populacionais são iguais.

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Passo 1

Estamos num caso de teste de hipótese para comparação entre médias com desvio padrôes populacionais desconhecidos, porém iguais. Vamos seguir nosso passo a passo pra resolver casos como esse então!

Passo 2

Vamos começar definindo nossas hipóteses. Mas aqui o negócio vai ser um pouquinho diferente do que o que estamos acostumados! Lembra que normalmente escrevemos isso aqui:

H 0 :     μ 1 = μ 2

Como hipótese nula? E escrever isso aí, nada mais é que escrever:

H 0 :     μ 1 - μ 2 = 0

Correto? Show! Mas aqui nós queremos testar as médias para uma diferença específica. Nós queremos saber se a diferença é maior que 5   m i n . Então nossa hipótese nula teria que ser:

H 0 :     μ 1 - μ 2 = 5

E na alternativa, como queremos verificar se a diferença é realmente maior que 5 , é isso que testamos:

H 1 :     μ 1 - μ 2 > 5

Então estamos num teste unilateral superior!

Passo 3

Mas será que essas hipóteses meio estranhas vai mudar nossa estatística de teste? Quase nada! A única diferença é que temos que subtrair o valor da diferença que estamos testando no numerador da fórmula dela. Se liga só:

T t e s t e = x - 1 - x - 2 - 5 s c 1 n + 1 m