Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Desconhecido

Teoria Completa

Meu amigo, no tópico anterior eu te ensinei a resolver um teste de hipótese para média quando o desvio-padrão populacional era conhecido, lembra?

Mas, e se a gente não tivesse nosso σ ? Ou seja, se ele fosse desconhecido, o que a gente faria?

Cara, aqui vamos ter dois casos, e eu preciso que você tenha bastante atenção nisso.

Caso 1) Quando nosso σ for desconhecido, mas o tamanho da nossa amostra for maior ou igual a 30 ( n ≥ 30 ) .

Caso 2) Quando nosso σ for desconhecido, mas o tamanho da nossa amostra for menor que 30 ( n < 30 ) .

Vamos aprender a resolver esses dois casos?

Vou te ensinar o passo a passo com exemplos, que assim você já fica craque no assunto! Vamo lá?!

Caso 1: n 30

“Um fabricante afirma que seus suplementos não contêm mais do que 30 m g de sódio. Uma amostra de 35 potes de suplemento fornece, em média, 31,4 m g de sódio e desvio-padrão de 3 m g . Sendo o nível de significância de 5 % , os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?”

1º Passo) Cara, o primeiro passo vai sersemprecomeçar vendo quem é nosso parâmetro.

Lendo bem o enunciado, a gente percebe que esse fabricante tá falandosobre a médiade sódionos suplementos, ou seja, nosso parâmetro é o μ .

Depois disso, vamos escrever quais são nossas hipóteses:

H 0 :   μ = 30 m g H 1 :   μ > 30 m g

O enunciado fala que a quantidade de sódio nos suplementos não é maior do que 30 m g , então nossa hipótese nula ( H 0 ) vai conter essa igualdade.

Como a hipótese alternativa ( H 1 ) precisa contrariar H 0 , e precisamos testar se a quantidade de sódio é maior do que a informada pelo fabricante, vamos considerar então média maior que 30 m g .

Estamos em um teste de hipótese unilateral superior!

2º Passo) Calcular nossa estatística de teste.

Cara, apesar estarmos em um caso de média com desvio-padrão desconhecido, a gente pode considerar que estamos num caso de distribuição normal! Isso acontece lááá pelo nosso querido Teorema Central do Limite, já que temos um n ≥ 30 .

Nossa estatística de teste vai ser basicamente a mesma do caso com DP conhecido, porém vamos trocar o desvio-padrão populacional ( σ ) pelo amostral ( s ) !

Z t e s t e = X - - μ s n

Vamos substituir com os valores do enunciado?

Z t e s t e = X - - μ s n = 31,4 - 30 3 35 = 2,76

Guarda esse valor, ele é precioso! E claro, vem comigo pro próximo passo.

3º Passo)Agora precisamos descobrir qual é nossa região crítica.

Só relembrando: a região crítica é a região onde rejeitamos H 0 .

Cara, nossa região crítica vaiseguir o mesmo passo a passo que fazíamos com σ conhecido.

Estamos num caso unilateral superior, logo, temos que encontrar z 1 - α .

z 1 - 0,05 = z 0,95

z 0,95 = 1,65

Vamos ver como isso fica no nosso desenho? Lembrando que estamos num caso da distribuição normal, então podemos trabalhar com a nossa querida curvinha.

Essa dica é bem valiosa, hein: sempre faça o desenho!

4º Passo) Olhar onde o valor da estatística de teste está no desenho.

Cara, aqui vamos ver se nosso Z t e s t e está dentro ou fora da região crítica.

Opa! Nossa estatística de teste está dentro da região crítica. E a região crítica é onde rejeitamos H 0 !

5º Passo) Tomar a decisão

Cara, como nosso valor de Z t e s t e caiu dentro da região crítica, rejeitamos nossa hipótese nula ( H 0 ) !

Ou seja, a média de sódio dos suplementos é realmente maior do que 30 m g . Logo, os dados refutam a afirmação do fabricante.

Até aqui não tivemos muitas mudanças, certo?!

Vamos ver o outro caso!

Caso 2: n < 30

“Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram:

8 ,   9 ,   5 ,   7 ,   8 ,   12 ,   6 ,   9 ,   6 ,   10

Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? Considere α = 5 %

1º Passo) Cara, vamos semprecomeçar vendo quem é nosso parâmetro.

Lendo o enunciado, a gente percebe que ele tá falando sobre a média de infrações diárias, ou seja, nosso parâmetro é o μ .

Depois disso, vamos escrever quais são nossas hipóteses:

H 0 :   μ = 7 H 1 :   μ > 7

O enunciado fala que a média diária de infrações era 7 , então nossa hipótese nula ( H 0 ) vai conter essa igualdade.

Como a hipótese alternativa ( H 1 ) precisa contrariar H 0 , e o cara quer testar se a média de infrações aumentou, vamos considerar então média maior que 7 infrações.

Estamos em um teste de hipótese unilateral superior!

2º Passo) Calcular nossa estatística de teste.

Cara, é aqui que vamos começar a notar algumas mudanças. Por ter um n < 30 , não podemos utilizar a distribuição normal.

Mas relaxa, temos uma outra distribuição muito parecida que vai nos ajudar a resolver nosso problema: a t-student!

O cálculo da nossa estatística de teste vai ser o mesmo do caso anterior, porém vamos trocar o seu nome!

T t e s t e = X - - μ s n

Nem sempre o professor vai ser bonzinho com você, e nesse caso ele não te deu a média e o desvio-padrão amostral. Teríamos que calcular com os dados que ele deu. Mas sem problemas, vamos lá!

X - = 8 + 9 + 5 + … + 10 10 = 8

Também calculei o desvio-padrão da amostra pra você:

s = 2,1

Agora vamos substituir os valores e descobrir nosso valor de T .

T t e s t e = X - - μ s n = 8 - 7 2,1 10 = 1,5

Guarda esse valor, ele é precioso! E claro, vem comigo pro próximo passo.

3º Passo)Agora precisamos descobrir qual é nossa região crítica, a região onde rejeitamos H 0 .

Aqui também vamos ter algumas mudanças, então presta bastante atenção, hein!

Como estamos nessa nova distribuição chamada t-student, teremos uma nova tabela também, bem parecida com a que tínhamos na normal.

Vou analisar cada um dos tipos de teste de hipótese pra você entender direitinho como buscar o valor na tabela.

Unilateral inferior

Aqui, o nosso ponto crítico vai ser dado por esse carinha aqui:

- t α ; v

Masoquê isso?! Calma, jovem gafanhoto, aqui não tem mistério também!

Esse v é o que chamamos de graus de liberdade, e ele vale:

v = n - 1

Ou seja, vai ser sempre o tamanho da amostra menos um.

Nesse nosso exemplo, como temos α = 0,05 e n = 10 , teríamos o seguinte:

- t 0,05 ; 9

E a gente vai buscar esse valor na nossa mais nova tabelinha!

- t 0,05 ; 9 = - 1,833

Sem mistérios, viu? Basta cruzar a linha dos graus de liberdade ( v ) com a coluna do nível de significância ( α ) .

Lembrando que essa tabela aí tem α como parâmetro! Se a sua tabela tiver p como parâmetro, você procuraria por 1 - 0,05 = 0,95 na primeira linha.

Unilateral Superior

Aqui nosso ponto crítico vai ser bem parecido com o de cima, só que com o sinal oposto!

Vamos ter que procurar o t α ; v .

Bilateral

No caso bilateral, vamos ter dois pontos críticos.

Nossos pontos críticos vão ser os seguintes:

t α 2 , v

- t α 2 , v

Não esquece de dividir o α por dois, por favor! E o resto do procedimento é o mesmo dos anteriores.

Bom, voltando pro nosso exemplo...

Vamos descobrir nosso ponto crítico, lembrando que estamos num caso unilateral superior:

t α ; v = t 0,05 ; 9 = 1,833

Vamos ver como isso fica no nosso desenho? A t-student tem praticamente o mesmo formato da normal, então sem estresse aqui! E não precisa se preocupar, seu professor não vai descontar ponto por achar que você desenhou uma normal, haha.

Essa dica é bem valiosa, hein: sempre faça o desenho!

4º Passo) Olhar onde o valor da estatística de teste está no desenho.

Cara, aqui vamos ver se nosso T t e s t e está dentro ou fora da região crítica.

Opa! Nossa estatística de teste está fora da região crítica. Ou seja, ele está na região de aceitação, onde não rejeitamos H 0 !

5º Passo) Tomar a decisão

Cara, como nosso valor de T t e s t e caiu fora da região crítica, não rejeitamos nossa hipótese nula ( H 0 ) !

Ou seja, não houve aumento significativo no número de infrações.

Viu, falei que não era difícil! O passo a passo é o mesmo, só mudando alguns pequenos detalhes. A gente se vê nos exercícios?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

2ª VE – UFF - Teste de Hipóteses

O tempo de duração de um procedimento industrial é de interesse para o fabricante. Uma amostra aleatória de oito procedimentos forneceu x ¯ = 133   m i n e s = 19,3   m i n . Há alguma evidência de que o tempo médio do procedimento seja de 125 minutos? α = 5 % .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, temos hipóteses sobre a duração de um procedimento industrial.

Queremos testar a hipótese de que a média é de 125   m i n .

Com isso, vamos cair naquele primeiro caso:

H 0 : μ = 125   m i n

H 1 : μ ≠ 125   m i n

O nível de significância é α = 0,05 .

Passo 2

Como não conhecemos o valor de σ , e sim o de s , vamos usar a estatística de teste:

T = x ¯ - μ 0 s n

T = 133 - 125 19,3 8