Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 102-4.39.

A carga de 7,5   k N deve ser suportada pelos dois cabos verticais de aço para os quais σ e = 500   M P a . Se os comprimentos originais dos cabos A B e A C forem 1250   m m e 1252,5   m m respectivamente, determine a força desenvolvida em cada cabo depois da suspensão da carga. Cada cabo tem área de seção transversal de 12,5   m m 2 .

Dados: E a ç o = 200   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

Os cabos A B e A C possuem comprimentos originais L A B = 1250   m m e L A C = 1252,5   m m , um módulo de elasticidade E = 200   G P a e uma área de seção transversal A = 12,5   m m 2 .

Através de forças de tração T A B e T A C , eles suportam juntos a carga P de 7,5   k N :

Inicialmente, os cabos têm comprimentos diferentes.

Mas uma vez que os cabos são carregados com o peso, eles:

  • Sofrem variações de comprimento δ A B e δ A C ;
  • E passam a compartilhar o mesmo ponto A , o que significa que eles precisam ter comprimentos finais L ' = L + δ iguais.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor dessas forças de tração T A B e T A C desenvolvidas nos cabos.

Para encontrar essas duas forças, podemos recorrer ao equilíbrio de forças no ponto A e a uma equação de compatibilidade entre as variações de comprimento δ A B e δ A C .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre do ponto A :

Com isso, podemos agora aplicar as condições de equilíbrio no ponto A .

Para esse ponto, a única condição de equilíbrio disponível é o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Fazendo esse somatório de forças, temos:

T A B + T A C - P = 0

O que significa que:

T A B + T A C = P

Essa única equação não é suficiente para que a gente possa encontrar as incógnitas T A B e T A C , então vamos precisar também de uma equação de compatibilidade.

Passo 3

Para encontrar uma equação de compatibilidade, precisamos pensar em como os cabos vão se deformar.

No passo 1, vimos que os dois cabos devem ter os mesmos comprimentos finais L ' :

L A B ' = L A C '

Isso significa que:

L A B + δ A B = L A C + δ A C

Passando L A B para a esquerda e δ A C para a direita, temos:

δ A B - δ A C = L A C - L A B

Substituindo L A C = 1252,5   m m e L A B = 1250   m m , vamos encontrar que:

δ A B - δ A C = 2,5   m m

Essa é a nossa equação de compatibilidade.

Passo 4

Para que a equação de compatibilidade seja útil para a gente, vamos precisar descrever as variações de comprimento δ A B e δ A C em função das trações T A B e T A C .

Para tanto, podemos usar a fórmula:

δ = N L E A

No caso dos nossos cabos, a força interna normal N vai ser sempre igual à tração T , ou seja:

δ = T L E A

Dessa forma, a nossa equação de compatibilidade fica assim:

T A B L A B E A - T A C L A C E A = 2,5   m m

Multiplicando os dois lados por E A , temos que:

T A B L A B - T A C L A C = 2,5   m m E A

Isolando T A B , encontramos:

T A B = 2,5   m m E A + T A C L A C L A B

Passo 5

Agora, podemos pegar a equação que encontramos ao final do passo 2:

T A B + T A C = P

E substituir a expressão que acabamos de encontrar para T A B :

2,5   m m E A + T A C L A C L A B + T A C = P

Com essa expressão, conseguimos isolar e encontrar a tração desconhecida T A C !

Multiplicamos os dois lados por L A B :

2,5   m m E A + T A C L A C + T A C L A B = P L A B

Passamos 2,5   m m E A para o outro lado e colocamos T A C em evidência:

T A C L A C + L A B = P L A B - 2,5   m m E A

E finalmente isolamos T A C :

T A C = P L A B - 2,5   m m E A L A C + L A B

Substituindo:

  • P = 7,5   k N
  • E = 200   G P a = 200   k N / m m 2
  • A = 12,5   m m 2
  • L A C = 1252,5   m m
  • E L A B = 1250   m m

Vamos encontrar que:

T A C = 1,249   k N

Encontrado o valor de uma tração, conseguimos encontrar o valor da outra.

Para isso, pegamos novamente a equação que veio do equilíbrio de forças:

T A B + T A C = P

Isolamos T A B :

T A B = P - T A C

E substituímos P = 7,5   k N e T A C = 1,249   k N para encontrar que:

T A B = 6,251   k N

E assim está resolvido o exercício!

Resposta

T A B = 6,251   k N

&

T A C = 1,249   k N

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