Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 102-4.36.

O tubo de aço A-36 tem raio externo de 20   m m e raio interno de 15   m m . Se ele se ajustar exatamente entre as paredes fixas antes de ser carregado, determine a reação nas paredes quando for submetido à carga mostrada.

Dados: E = 200   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

Temos um tubo de raio externo r e x t = 20   m m e raio interno r i n t = 15   m m .

Sendo assim, a área A da seção transversal desse tubo vai ser dada pela diferença entre as áreas dos círculos com o raio externo e com o raio interno:

A = π r e x t 2 - π r i n t 2 = π ( r e x t 2 - r i n t 2 )

Além disso, o tubo possui um módulo de elasticidade E = 200   G P a e é dividido em dois segmentos, A B e B C , com comprimentos originais L A B = 300   m m e L B C = 700   m m .

Inicialmente, o tubo se ajusta exatamente nas paredes e não existe nenhuma reação nas paredes.

Mas, quando o tubo é submetido à carga P = 8   k N + 8   k N = 16   k N mostrada, ele passa a sofrer reações das paredes em A e em C para que ele se mantenha em equilíbrio:

Beleza, e o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor das reações desconhecidas R A e R C .

Como são duas reações desconhecidas, mas só uma condição de equilíbrio está disponível para a gente (o equilíbrio de forças na horizontal), esse tubo é estaticamente indeterminado.

Isso significa que nós vamos precisar de uma equação de compatibilidade para resolver o exercício.

Para achar essa equação de compatibilidade, podemos estudar a variação de comprimento de cada segmento do tubo.

(Também poderíamos usar o método de análise de força, mas seria mais demorado...)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Da mesma forma que em muitos outros exercícios, vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre da peça:

Feito o DCL, aplicamos as condições de equilíbrio.

Nesse caso, a única condição disponível é o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F H = 0

Fazendo esse somatório, encontramos que:

R A + R C - 16   k N = 0

R A + R C = 16   k N           (Equação 1)

Vamos guardar essa equação para depois!

Passo 3

A relação R A + R C = 16   k N não é o suficiente para encontrar os valores das reações, então precisamos de uma equação de compatibilidade.

Para encontrar essa equação, vamos observar as variações de comprimento δ em cada segmento da peça!

O segmento A B vai sofrer uma variação de comprimento δ A B enquanto que o segmento B C vai sofrer uma variação de comprimento δ B C .

A soma dessas duas variações vai ser a variação de comprimento total δ da peça:

δ A B + δ B C = δ

Mas como as paredes não se movem, a variação de comprimento total da peça deve ser nula, de tal forma que:

δ A B + δ B C = 0

O que significa que:

δ B C = - δ A B

Essa é a nossa equação de compatibilidade!

Passo 4

A equação de compatibilidade da forma que encontramos no passo anterior não tem muita utilidade para a gente.

Precisamos conseguir descrever as variações de comprimento δ A B e δ B C em função dos carregamentos na peça.

Para tanto, podemos usar a fórmula:

δ = N L E A

Aplicando essa fórmula para cada segmento e tendo em mente que os dois segmentos tem módulos de elasticidade E e áreas de seção transversal A iguais, temos que:

N B C L B C E A = - N A B L A B E A

Cortando E A com E A , e substituindo L B C = 700   m m e L A B = 300   m m , isso fica assim:

N B C 700   m m = - N A B ( 300   m m )

O que significa que:

N B C = - 3 7 N A B

Passo 5

Conseguimos relacionar os carregamentos internos nos segmentos da peça com a relação N B C = - 3 / 7 N A B , mas precisamos mesmo é relacionar as reações na peça.

Para tanto, podemos fazer uma análise de esforços internos na peça para definir as forças internas normais N em função das reações R .

Para as seções entre A e B , temos:

Fazendo o equilíbrio de forças na horizontal, temos que:

∑ F H = 0       ⇒       R A + N A B = 0

O que significa que:

N A B = - R A

Já para as seções entre B e C , essa análise fica assim:

Mais uma vez aplicamos o equilíbrio de forças na horizontal:

∑ F H = 0       ⇒       R C - N B C = 0

Para encontrar dessa vez que:

N B C = R C

Passo 6

Pronto, agora podemos voltar na relação que tínhamos encontrado:

N B C = - 3 7 N A B

E substituir N A B = - R A e N B C = R C :

R C = - 3 7 - R A

Simplificando, essa expressão fica assim:

R C = 3 7 R A

Por fim, para resolver o exercício, precisamos substituir essa relação na Equação 1 que tínhamos guardado:

R A + R C = 16   k N           (Equação 1)

Fazendo essa substituição, temos:

R A + 3 7 R A = 16   k N

Isolando R A , encontramos que:

R A = 16   k N 10 7

O que dá:

R A = 11,2   k N

E, como R C = 3 / 7 R A , temos que:

R C = 3 7 11,2   k N = 4,8   k N

E assim está resolvido o nosso exercício!

Resposta

R A = 11,2   k N

&

R C = 4,8   k N

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