Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 146/147. – 21

Consideremos as seguintes bases do R 2 e do R 3 :

a   B = 3,4 , 1,2

b   B = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,1 , 2

c   B = 1,0 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,3 , 4

Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt

Passo 1

a Definindo a base B = v 1 , v 2 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 pelo processo de Gram-Schmidt. Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

Sendo assim,

w 1 = 3,4

w 2 = 1,2 - 1,2 , 3,4 3,4 , 3,4 3,4 = 1,2 - 11 25 3,4 = 1,2 - 33 25 , 44 25 = - 8 25 , 6 25

Chegamos à base:

B ' = 3,4 , - 8 25 , 6 25

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 :

u 1 = w 1 w 1 = 3,4 5 = 3 5 , 4 5

u 2 = w 2 w 2 = - 8 25 , 6 25 100 25 2 = - 8 25 , 6 25 25 10 = - 4 5 , 3 5

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5

Passo 3

b Definindo B = v 1 , v 2 , v 3 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 , w 3 pelo processo de Gram-Schmidt. Repare, no entanto, que v 2 já é ortogonal à v 1 ! Logo, podemos definir direto w 2 = v 2 . Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , 0

w 2 = 0,1 , 1

w 3 = 0,1 , 2 - 0,1 , 2 , 1,0 , 0 0 1,0 , 0 , 1,0 , 0 1,0 , 0 - 0,1 , 2 , 0,1 , 1 0,1 , 1 , 0,1 , 1 3 2 0,1 , 1 = 0,1 , 2 - 0 , 3 2 , 3 2

w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 4

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 , u 3 . O vetor u 1 já está normalizado, logo:

u 2 = w 2 w 2 = 0,1 , 1 2 = 0 , 1 2 , 1 2

u 3 = w 3 w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2 2 2 = 0 , - 1 2 , 1 2

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 5

c Definindo a base B = v 1 , v 2 , v 3 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 , w 3 pelo processo de Gram-Schmidt. Repare que novamente v 2 já é ortogonal à v 1 ! Logo, podemos definir direto w 2 = v 2 . Fazemos então:

  w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , 1

w 2 = 1,0 , - 1

w 3 = 0,3 , 4 - 0,3 , 4 , 1,0 , 1 1,0 , 1 , 1,0 , 1 2 1,0 , 1 - 0,3 , 4 , 1,0 , - 1 1,0 , - 1 , 1,0 , - 1 - 2 1,0 , - 1

w 3 = 0,3 , 4 - 2,0 , 2 + 2,0 , - 2 = 0,3 , 0

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,3 , 0

Passo 6

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 , u 3 :

u 1 = w 1 w 1 = 1,0 , 1 2 = 1 2 , 0 , 1 2

u 2 = w 2 w 2 = 1,0 , - 1 2 = 1 2 , 0 , - 1 2

u 3 = w 3 w 3 = 0,3 , 0 3 = 0,1 , 0

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1 2 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0

Resposta

a   3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5

b   1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2

c   1 2 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0

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