Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2016.1, Questão E2

O ângulo θ entre o vetor u = 1,1 , a , onde a R , e o vetor ortogonal ao plano x + y + z = 1 é π 3 . Então, o maior valor de a é?

Passo 1

Bom, antes de mais nada, devemos encontrar os vetores. O primeiro é dado:

u = 1,1 , a

Agora, repare que um vetor ortogonal a um plano qualquer c x + d y + e z = k é qualquer múltiplo do vetor c , d , e . Logo, um vetor ortogonal ao plano x + y + z = 1 é :

v = 1,1 , 1

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Passo 2

Para prosseguir na resolução da questão, precisamos apenas nos lembrar da seguinte fórmula:

cos θ = u . v u v

Então temos:

cos π 3 = 1 + 1 + a 1 2 + 1 2 + a 2 1 2 + 1 2 + 1 2

Substituindo o valor do cosseno temos:

1 2 = 2 + a 6 + 3 a 2

Basta encontrar o valor de a . Elevando ambos os lados ao quadrado:

1 4 = 2 + a 2 6 + 3 a 2

Ajeitando temos:

6 + 3 a 2 = 4 4 + 4 a + a 2

a 2 + 16 a + 10 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau encontramos:

= 16 2 - 4 1 10

Então:

- 16 ± 216 2 = - 8 ± 3 6

Como ele quer o maior valor de a vamos ter:

a = - 8 + 3 6

Resposta

a = - 8 + 3 6

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