Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-49.

Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores Equation e Equation . Nas mesmas condições, determine um vetor de módulo 5.

Passo 1

O problema nos dá dois vetores Equation e Equation . Com esses dois vetores devemos determinar um vetor que seja ortogonal aos dois vetores dados e além disso, que seja unitário.

Bom, no exercício anterior vimos que se realizarmos o produto vetorial entre Equation e Equation , o vetor resultante será ortogonal a esses dois vetores. Okay, essa parte já entendemos!! E o unitário onde entra nessa história?

Calma!! Você vai entender tudinho!!

Na teoria não chegamos a falar sobre o termo “unitário”, mas ele significa que o módulo do vetor deve ser unitário. Assim, esse vetor é chamado de “versor”. Para achar o vetor unitário basta calcular o seu módulo e dividir cada coordenada pelo seu módulo, assim oh:

Equation

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Passo 2

Agora, é fazermos as conta. Vamos começar resolvendo o produto vetorial Equation :

Equation

Achamos o vetor que queríamos, que é Equation . Agora falta transformá-lo em unitário.

Passo 3

Então, para fazê-lo ter módulo unitário, vamos calcular primeiro o seu módulo, que é:

Equation

O vetor unitário que estamos procurando será:

Equation

É bom lembrar que se considerarmos Equation , obteremos como resultado o oposto do vetor obtido anteriormente, pois:

Equation

Passo 4

Já temos o vetor unitário, agora queremos calcular um vetor de módulo cinco nas mesmas considções do anterior. Se são nas mesmas condições do anterior podemos utilizar o resultado que temos.

Vamos pensar um pouco!! Se o vetor que encontramos é unitário, ou seja, seu módulo é unitário, então, isso significa que se multiplicarmos as suas coordenadas por Equation , o vetor passará a ter módulo Equation ?

É exatamente isso. Então, o vetor de módulo Equation é:

Equation

Resposta

Equation

Equation

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