Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 –1.52 e pp 28 – 1.25.

  1. Prove que dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial, ou seja, prove que A   ×   B =   - B   × A .
  2. Se A × B = 0 , é necessariamente verdadeiro que A = 0   o u   B = 0   ? Explique.

Passo 1

Alternativa a)

Se lembra como a gente calcula o produto vetorial por componentes? Então, vamos usar essa formula agora. Vamos supor dois vetores quaisquer, vamos trabalhar só com letras, ok? Sem números, é só comparativo.

A = A x , A y , A z

B = ( B x , B y , B z )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial A   x   B

  i j z A x A y A z B x B y B z

Calculando o determinante temos:

A y B z - A z B y i + A z B x - A x B z j + ( A x B y - A y B x ) z

Passo 3

Agora vamos calcular o outro produto vetorial - B   x   A . Se encontrarmos o mesmo valor conseguimos provar que o produto vetorial é anticomutativo.

Vamos calcular primeiro o produto vetorial A   x   B

  i j z - B x - B y - B z A x A y A z

Calculando o determinante temos:

- B y A z - - B z A y i + - B z A x - - B x A z j + - B x A y - - B y A x z

Reorganizando os sinais e os fatores temos:

A y B z - A z B y i + A z B x - A x B z j + A x B y - A y B x

Passo 4

Alternativa b)

Pra fazer essa questão vamos lembrar da fórmula do módulo do produto vetorial:

A × B = | A | | B | s e n ( θ )

Passo 5

Alternativa a)

Pra fazer essa questão vamos analisar primeiro o lado direito da equação.

Vamos considerar que nem A , e nem B tem valor 0 . Assim,

A > 0

B > 0

Assim, para o produto escalar ser 0 , o ângulo entre os vetores teria que ser ou 0 ° ou 180 ° , pois assim o sen θ = 0 . Isso significa que os dois vetores são paralelos!

Resumindo: N ã o   p r e c i s a m   s e r   n e c e s s a r i a m e n t e   0 .

Resposta

b )   n ã o

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