Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 98-20.

Prove que se   u   v = 0 e u ×   v =   0 então   u =   0 ou v =   0 . Interprete geometricamente.

Passo 1

Esse exercício requer conhecimentos do produto escalar e do produto vetorial. Bem, o enunciado pede para provarmos que se dizemos que os vetores u   v = 0 e u ×   v =   0 então   u =   0 ou v =   0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, analisar cada parte, começando por u   v = 0 . Do produto escalar temos que:

u   v = u v cos θ

Se o enunciado nos diz que u   v = 0 , então pela expressão acima temos três possibilidades:

  • O ângulo entre os vetores u   e   v , ou seja, θ = 90 ° .
  • u = 0   u = 0
  • v = 0   v = 0
  • Analisando a segunda afirmação u ×   v =   0 e a relação do produto vetorial, temos :

    | u ×   v | = u   v sin θ =   0

  • O ângulo entre os vetores u   e   v , ou seja, θ = 0 ° .
  • u = 0   u = 0
  • v = 0   v = 0

Passo 3

Já temos tudo o que podemos concluir com os dados que nos foram dados. Agora como sabemos que a relação entre u   v = 0 e u ×   v é de E, ou seja, é de intersecção, então, concluimos que:

u = 0   o u   v = 0

c.q.d

Falta falarmos da interpretação geométrica do problema. Bom, pensando geometricamente, sabemos que esses vetores não são paralelos entre si e nem formam 90 ° . Então, poderiam formar qualquer ângulo diferente de 0 °   e   90 ° . Mas, para satisfazer as duas condições do produto escalar e vetorial, a única possibilidade é a de que um dos vetores seja nulo.

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