Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

Elaboração própria.

Calcule a projeção do vetor u → = ( 3 ,   2 ,   1 ,   5 ) na base formada pelos vetores v → = ( 1 ,   4 ,   3 ,   2 ) e w → = ( 1 ,   - 3 ,   3 ,   1 ) .

Passo 1

Antes de tudo, repara que o produto interno entre v → e w → é 0:

v → . w → = 1 - 12 + 9 + 2 = 0

Logo, eles são ortogonais e podemos usar a fórmula:

P b H = ( 3 ,   2 ,   1 ,   5 ) ,   ( 1 ,   4 ,   3 ,   2 ) 1 ,   4 ,   3 ,   2 ,   1 ,   4 ,   3 ,   2 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 3 ,   2 ,   1 ,   5 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

Agora é só calcular pra acharmos essa projeção :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A fórmula da nossa projeção vai ser

P b H = ( 3 ,   2 ,   1 ,   5 ) ,   ( 1 ,   4 ,   3 ,   2 ) 1 ,   4 ,   3 ,   2 ,   1 ,   4 ,   3 ,   2 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 3 ,   2 ,   1 ,   5 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

Calculando os produtos internos:

P b H = 3 + 8 + 3 + 10 1 + 16 + 9 + 4 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 3 - 6 + 3 + 5 1 + 9 + 9 + 1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

P b H = 24 30 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 5 20 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

P b H = 4 5 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 1 4 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

P b H = 4 5 , 16 5 , 12 5 , 8 5 + 1 4 ,   - 3 4 , 3 4 , 1 4

Somando os vetores, temos que nossa projeção é:

P b H = 21 20 , 49 20 , 63 20 , 37 20

Resposta

P b H = 21 20 , 49 20 , 63 20 , 37 20

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