Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFRGS, Aula de Projeções Ortogonais sobre Subespaços

Calcule a projeção do vetor y → = 1 0 - 1 - 3 2 sobre o plano gerado pelos vetores

w 1 → = 0 4 0 - 6 0   w 2 → = 1 0 2 0 - 1 w 3 → = 2 - 3 0 - 2 2

Passo 1

w 1 → , w 2 → e w 3 → formam uma base ortogonal, pois:

w 1 → . w 2 → = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

w 1 → . w 3 → = 0 - 12 + 0 + 12 + 0 = 0

w 2 → . w 3 → = 2 + 0 + 0 + 0 - 2 = 0

Nossa fórmula de projeção em base ortogonal vai ficar assim:

P b H = 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 3 ,   2 ,   0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 ,   0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 + 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 3 ,   2 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 3 ,   2 ,   2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2 ,   2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

Grandona né? Mas relaxa que é só calcular os produtos internos e depois somar tudo hahaha

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular os produtos internos:

P b H = 18 16 + 36 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 + 1 - 2 - 2 1 + 4 + 1 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 2 + 6 + 4 4 + 9 + 4 + 4 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

P b H = 18 52 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 + - 3 6 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 12 21 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

P b H = 9 26 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 - 1 2 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 4 7 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

Multiplicando pelos escalares e somando os vetores:

P b H = 9 14 ,   - 282 91 ,   - 1 ,   - 293 91 , 23 14

Ufa, terminou :)

Resposta

P b H = 9 14 ,   - 282 91 ,   - 1 ,   - 293 91 , 23 14

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