Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP - Adaptado

Considere o espaço vetorial R 3 munido do produto interno usual ⟨ . , . ⟩ . Seja β uma base de R 3 dada por: β = 1 ,   2 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 e P :   R 3 → R 3 o operador de projeção sobre β . Determine o operador P ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Fazendo o produto interno dos elementos de β :

1 - 2 + 1 = 0

Beleza, deu 0, então essa base é ortogonal não é?

Então podemos usar a fórmula de projeção sobre base ortogonal:

P b H = x ,   y ,   z ,   1 ,   2 ,   1 1 ,   2 ,   1 ,   ( 1 ,   2 ,   1 ) 1 ,   2 ,   1 + x ,   y ,   z ,   1 ,   - 1 ,   1 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Estamos usando ( x ,   y ,   z ) porque queremos saber qual é a fórmula geral para o operador P , ou seja, a fórmula que sempre podemos usar nesse caso para calcular a projeção sobre a base β .

É só calcular esses produtos internos e aí encontramos o operador P beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando os produtos internos:

P b H = x + 2 y + z 1 + 4 + 1 1 ,   2 ,   1 + x - y + z 1 + 1 + 1 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

P b H = x + 2 y + z 6 1 ,   2 ,   1 + x - y + z 3 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

P b H = x + 2 y + z 6 ,   2 x + 4 y + 2 z 6 ,   x + 2 y + z 6 + x - y + z 3 ,   - x + y - z 3 ,   x - y + z 3

Somando os vetores:

P b H = 3 x + 3 z 6 ,   6 y 6 ,   3 x + 3 z 6

Então, a fórmula geral do operador P é:

P b H = x + z 2 ,   y ,   x + z 2

Reparou como nesse caso é só o enunciado que assusta? Estamos usando a mesma fórmula dos outros exercícios mas com um vetor genérico (:

Resposta

P b H = x + z 2 ,   y ,   x + z 2

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