Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

Ondas Eletromagnéticas

A figura abaixo representa os campos elétrico E → e magnético B → de uma onda eletromagnética plana monocromática, no vácuo, na origem do sistema de coordenadas em dois instantes diferentes. Nestes dois momentos E → = 1 / 2   V / m . A frequência da onda é f = 0,25 × 1 0 9 H z e sua velocidade de propagação c = 3 × 10 8   m / s .

a Determine o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda λ , a frequência angular ω e o número de onda k .

b Escreva a expressão completa do vetor campo elétrico indicando a dependência nas coordenadas e no tempo.

c Escreva a expressão do campo magnético B → associado ao campo elétrico dado.

Passo 1

a Determine o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda λ , a frequência angular ω e o número de onda k .

Para determinar o sentido de propagação da onda, é importante você lembrar que o produto vetorial entre E → e B → aponta na mesma direção e sentido de propagação da onda.

Em t = 0 , E → aponta no sentido vetor + i ^ e o vetor B → aponta no sentido + k ^ , logo:

i ^ × k ^ = - j ^

Assim, a onda se propaga na mesma direção e sentido do vetor - j ^ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aqui precisamos lembrar de algumas fórmulas que, vira e mexe, aparecem na nossa vida:

c = λ f

ω = 2 π f

k = 2 π λ

Bom, acho que com isso aqui a gente começa a se virar.

O problema nos deu f e c , então podemos começar calculando λ , usando a primeira fórmula.

λ = c f = 3 × 10 8 0,25 × 10 9

λ = 1,2   m

Então vamos aproveitar o embalo e calcular o número de onda k :

k = 2 π λ = 2 π 1,2

k = 5 π 3   m - 1

Pra fechar, vamos calcular a frequência angular ω .

ω = 2 π f = 2 π × 0,25 × 10 9

ω = 5 π × 10 8   r a d / s

Passo 3

b Escreva a expressão completa do vetor campo elétrico indicando a dependência nas coordenadas e no tempo.

Os dois gráficos mostram que o campo elétrico se propaga na direção x .

Logo, a expressão do vetor campo elétrico vai ter essa cara:

E → y , t = E m cos ⁡ k y + ω t + ϕ i ^   ( V / m )

Obs.: O sinal aqui é positivo k y + ω t porque a onda se propaga no sentido do vetor - j ^ . Se ela se propagasse no sentido do vetor + j ^ , por exemplo, o sinal seria negativo k y - ω t . Ou seja, o sinal é sempre do contra!

Ok, dessa expressão, as únicas coisas que não sabemos são os valores de ϕ e de E m , então vamos utilizar as condições de contorno pra encontrar esses valores, ok?

  • E 0,0 = 1 / 2 V / m ;
  • E m cos ⁡ ϕ = 1 2

  • E 0,10 - 9 = 1 / 2 V / m ;

E m cos ⁡ 10 - 9 ω + ϕ = - 1 2

E m cos ⁡ 10 - 9 × 5 π × 10 8 + ϕ = - 1 2

E m cos ⁡ π 2 + ϕ = - 1 2

- E m sen ⁡ ϕ = - 1 2

E m sen ⁡ ϕ = 1 2

Ok! Agora vamos trabalhar com esses caras!

Passo 4

Dividindo as duas equações, teremos:

E m sen ⁡ ϕ E m cos ⁡ ϕ = 1 2 1 2 → tan ⁡ ϕ = 1

ϕ = π 4

Opa! Substituindo esse cara em uma das situações, teremos:

E m sen ⁡ π 4 = 1 2 → E m 2 2 = 1 2

E m = 1

Finalmente, o campo elétrico será dado por:

E → y , t = 1 cos ⁡ 5 π 3 y + 5 π × 10 8 t + π 4 i ^   ( V / m )

Acabou, mas se quiser ajeitar esse cara pra ficar melhor, podemos reescrevê-lo assim:

E → y , t = 1 cos ⁡ 5 π y 3 + 10 8 t + 1 20 i ^   ( V / m )

Passo 5

c Escreva a expressão do campo magnético B → associado ao campo elétrico dado.

Os dois gráficos mostram que o campo magnético se propaga na direção z .

Mas como saber se o campo magnético está no sentido de + k ^ ou de - k ^ ??

Já sabemos que o campo elétrico está no sentido de + i ^ e que a onda se propaga no sentido de - j ^ . Então agora é só testar:

i ^ × k ^ = - j ^

i ^ × - k ^ = j ^

Sendo assim, o campo magnético se propaga no sentido de + k ^ .

Logo, a expressão do vetor campo elétrico vai ter essa cara:

B → y , t = B m cos ⁡ k y + ω t + ϕ k ^   T

Já temos todos os dados, exceto B m . Mas aqui, basta lembrar que:

E m = c B m → B m = E m c

B m = 1 3 × 10 8 = 10 - 8 3 T

Finalmente:

B → y , t = 10 - 8 3 cos ⁡ 5 π y 3 + 10 8 t + 1 20 k ^   T

Resposta

a

A onda se propaga na mesma direção e sentido do vetor - j ^ .

λ = 1,2   m

k = 5 π 3   m - 1

ω = 5 π × 10 8   r a d / s

b

E → y , t = 1 cos ⁡ 5 π y 3 + 10 8 t + 1 20 i ^

c

B → y , t = 10 - 8 3 cos ⁡ 5 π y 3 + 10 8 t + 1 20 k ^   T

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