Exercícios Resolvidos de Quociente de Funções com x → Infinito

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x + x + 1 x + 2 x + 8 x 2 + 1 4

Passo 1

Em primeiro lugar, ao substituir vamos ter uma indeterminação ( / ) . Nenhuma novidade até aí:

lim x + x + 1 x + 2 x + 8 x 2 + 1 4 =

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, repara com a gente, pela progressão do numerador, teríamos ali oito termos com x + n , em que n vai de 1 até 8 .

Embaixo, temos um polinômio de grau 8 , já que temos um x 2 4 = x 8 .

Bom, se por um padrão colocarmos todos os x ' s de cima em evidência, quantos seriam?

lim x + x + 1 x + 2 x + 8 x 2 + 1 4 = lim x + x 1 + 1 x x 1 + 2 x x 1 + 8 x x 2 1 + 1 x 2 4

Um para cada termo multiplicando, ou seja, 8 termos x ! Lembrando, embaixo temos x 8 .

Passo 3

Rapaz, colocando cada x reunido, você concorda que teríamos um x para cada termo x + n ? Bom, com isso teríamos 8 vezes ali aparecendo o x no numerador!

lim x + x 1 + 1 x x 1 + 2 x x 1 + 8 x x 2 1 + 1 x 2 4 = lim x + x 8 1 + 1 x 1 + 2 x 1 + 8 x x 8 1 + 1 x 2 4

= lim x + 1 + 1 x 1 + 2 x 1 + 8 x 1 + 1 x 2 4

Zeramos tudo com potência de x no denominador. Com isso:

lim x + 1 + 1 x 1 + 2 x 1 + 8 x 1 + 1 x 2 4 = 1 + 0 1 + 0 1 + 0 1 + 0 4 = 1 1 1 1 4

= 1

Resposta

lim x + x + 1 x + 2 x + 8 x 2 + 1 4 = 1

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