Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

UERJ – Cálculo 1 – Lista de Limites Professor Roger - 6

Calcule o limite:

lim y - 3 y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3

Passo 1

Então, estudante, se a gente jogar esse valor na criança vai ficar assim:

lim y - 3 y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3 = ( - 3 ) 2 - 9 2 ( - 3 ) 2 + 7 ( - 3 ) + 3 = 0 0 = 0 0

Bom, isso significa problema: teremos, então, que achar um jeito de solucionar isso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lá, repara o seguinte, se x = - 3 zera os polinômios ali, significa então que ele é uma das raízes desse polinômio, né?

Então, vamos abrir esses polinômios aí para poder simplifica-los. O de cima é fácil, produto notável:

y 2 - 9 = ( y + 3 ) ( y - 3 )

Ok, como era esperado o - 3 é uma das raízes! Para o outro (o de baixo), vamos de Bhaskara:

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( 7 ) ± ( 7 ) 2 - 4 ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 2 ) = - 7 ± 25 4 = - 7 ± 5 4

Assim, as raízes do polinômio serão:

y = - 3           ;           y = - 1 / 2

Dessa maneira, abrindo o polinômio ele fica assim:

2 y 2 + 7 y + 3 = 2 ( y + 3 ) ( y + 1 / 2 )

Passo 3

Reescrevo agora o polinômio todo:

lim y - 3 y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3 = lim y - 3 ( y + 3 ) ( y - 3 ) 2 y + 3 y + 1 2

Dá para cortar ali né?

lim y - 3 ( y + 3 ) ( y - 3 ) 2 y + 3 y + 1 2 = lim y - 3 ( y - 3 ) 2 y + 1 2

Daí, peixe, é só substituir:

lim y - 3 ( y - 3 ) 2 y + 1 2 = ( - 3 - 3 ) 2 - 3 + 1 2 = ( - 6 ) 2 - 5 / 2 = 6 5

Resposta

lim y - 3 y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3 = 6 5

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