Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 7.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1  

Passo 1

Subsituindo o x = 1 você já percebe logo de cara que esse cara vai para uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1   = 1 100 - 2 1 + 1 1 50 - 2 1 + 1 = 1 - 2 1 + 1 1 - 2 1 + 1 = 0 0

Bom, pra fugir disso a gente precisa fatorar esse cara. Mas calma aí, o bagulho tá elevado a 100 ? Como eu faço isso??

Então, você não faz! Mas nós marotamente faremos algo que vai nos levar ao resultado, através de um padrão na fatoração.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembra que a dica para fatorar polinômios de grau maior ou igual a 3 era usar Briot-Ruffini? Vamos lançar desse jeito então, tendo que o valor é C = 1 e temos que dividir os dois polinômios por x - 1 .

Repara ainda, para o polinômio de cima, que teremos + 1 no coeficiente de x 100 , 0 em todos do grau 99 até 2 , - 2 no grau 1 e o ( + 1 ) . Armando para o cara de cima fica assim:

Mesmo esquema, desce o primeiro coeficiente, multiplica ele pela raiz, soma com o próximo coeficiente e assim por diante:

Repara, tem um padrão! Todos com 0 ali vão ter coeficiente 1 ao dividir!

Continuando teremos:

Ou seja, x 100 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 ) .

Passo 3

Não sei se você já se deu conta, mas para o cara debaixo, com o x 50 , vamos ter a mesma coisa! A diferença nesse caso é que os coeficientes zerados estarão só de 49 até 2 . Briot-Ruffini neles!

Ou seja, x 50 - 2 x + 1 = x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Passo 4

Substituindo no limite, teremos:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1   = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

= lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Rapaz, repara nesse limite que sobrou! Lembra que 1 elevado a qualquer número vai dar 1 ? A gente vai ficar com 99 números 1 em cima e 49 embaixo ao substituir x → 1 , fora os dois - 1 que sobraram ali:

lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1 = 1 99 - 1 1 49 - 1

= 99 - 1 49 - 1 = 98 48 = 49 24

Questão trabalhosa e complicadinha, heim?

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1   = 49 24

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