Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 29

Calcule:

π 2 π 0 π sen x + cos y d x d y

Passo 1

Quando nós fazemos a integral de uma soma, a gente pode usar essa propriedade aqui:

f x + g x d x = f x d x + g x d x

E isso também vale para as integrais duplas! Então, no nosso caso:

π 2 π 0 π sen x + cos y d x d y = π 2 π 0 π sen x d x d y + π 2 π 0 π cos y d x d y

Beleza, agora ficamos com duas integrais bem mais simples de calcular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira:

π 2 π 0 π sen x d x d y

A integral do sen ( x ) é - c o s ( x ) , então:

π 2 π - cos π - - cos 0 d y = π 2 π - - 1 + ( 1 ) d y = π 2 π 2 d y

E agora é só integrar o d y :

2 π 2 π d y = 2 2 π - π = 2 π

Passo 3

Agora vamos para a segunda integral:

π 2 π 0 π cos y d x d y

Quando integramos em relação a x , o cos y é uma constante, então vamos começar só integrando o d x quando vai de 0 até π .

π 2 π cos y π - 0 d y

π π 2 π cos y d y

E a integral de c o s ( y ) em relação a y é s e n ( y ) :

π π 2 π cos y d y = π sen 2 π - sen π = π 0 - 0 = 0

Agora é só somar os resultados das duas integrais:

I = π 2 π 0 π sen x + cos y d x d y

I = 2 π + 0 = 2 π

Resposta

O valor da integral é 2 π .

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