Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2018.2, Questão 2

Questão 2: Se g t , t R , é uma função de classe C 1 e definimos a função

h : R 2 R

x ,   y x y   g sin x y

Determine se é verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto x ,   y do plano vale a seguinte relação entre as derivadas parciais de h :

x h x x ,   y - y h y x ,   y = 0

Passo 1

Aqui não tem muito mistério: é derivar e substituir! É claro que devemos tomar muito cuidado nas derivadas que são um pouco chatas de se fazer! Vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar derivando com relação a x

h x ,   y = x y   g sin x y

Aplicando a regra do produto...

h x x ,   y = x x y   g sin x y =

y   g sin x y x x + x y   x g sin x y

E aplicando a regra da cadeia...

h x x ,   y = y   g sin x y + x y cos x y x y x

Chegaremos aqui:

h x x ,   y = y   g sin x y + x y 2 cos x y

Passo 3

Now, vamos para a derivada com relação a y :

h y x ,   y = y x y   g sin x y =

x   g sin x y y y + x y   y g sin x y

h y x ,   y = x   g sin x y + x y   cos x y x y y

h y x ,   y = x   g sin x y + x 2 y   cos x y

Passo 4

Agora é só substituir e simplificar...

x h x x ,   y - y h y x ,   y = 0  

x y   g sin x y + x y 2 cos x y - y x   g sin x y + x 2 y   cos x y = 0  

y x   g sin x y + x 2 y 2 cos x y - x y   g sin x y + x 2 y 2   cos x y = 0  

Que nós vamos chegar à...

0 = 0

0 = 0 só pode significar uma coisa: funcionou e são iguais, logo de fato a igualdade é verdadeira !

Resposta

Sentença Verdadeira

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