Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2016.1, Questão E7

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f 1,0 = 2 , f x 1,0 = 1 e f y 1,0 = 2 . Seja

g u , v = f u + cos v , u - v 2

Quanto valem g u 0,0 e g v 0,0 , respectivamente?

a 6 e - 2 ;

b 4 e - 8 ;

c 3 e - 2 ;

d 12 e - 8 ;

e 6 e - 4 .

Passo 1

Vamos começar estudando o ponto onde ele quer que calculemos as derivadas parciais g u 0,0 e g v 0,0 . Sabemos que g = g u , v , ou seja, g   é função das variáveis u e v . Logo concluímos que ele quer as derivadas parciais em u = 0 e v = 0

Podemos ainda encontrar o valor de f quando u = 0 e v = 0 . Observe que x = u + cos v , y = u - v . Então vamos ter :

f 0 + cos 0 , 0 - 0 = f 1,0 = 2

Com x 0 = 1 e y 0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nosso trabalho agora é montar as derivadas parcais. Mas nessa questão temos um detalhe, g é uma função composta f por tanto não podemos esquecer de usar a regra da cadeia que aprendemos lá me Cálculo 1. Fica assim:

g u 0,0 = 2 f 1,0 f x 1,0 x u 0,0 + 2 f 1,0 f y 1,0 y u 0,0

E ainda:

g v 0,0 = 2 f 1,0 f x 1,0 x v 0,0 + 2 f 1,0 f y 1,0 y v 0,0

Passo 3

O enunciado nos fornece todas essas informações que precisamos para calcular as derivadas parciais, exceto:

  x u 0,0 ;   x v 0,0 ;   y u 0,0 ; y v 0,0

Então bora calcular essa parada. Começando por x :

x = u + cos v

x u 0,0 = 1

x v 0,0 = - s e n v = - s e n 0 = 0

Agora falta as de y . Temos:

y = u - v

y u 0,0 = 1

y v 0,0 = - 1

Passo 4

Basta substituir os valores necessários nas derivadas parciais. Vamos ter:

g u 0,0 = 2 f 1,0 f x 1,0 x u 0,0 + 2 f 1,0 f y 1,0 y u 0,0

g u 0,0 = 2 2 1 1 + 2 2 2 1 = 4 + 8 = 12

Pra acabar:

g v 0,0 = 2 f 1,0 f x 1,0 x v 0,0 + 2 f 1,0 f y 1,0 y v 0,0

g v 0,0 = 2 2 1 0 + 2 2 2 - 1 = 0 - 8 = - 8

Resposta

Letra d

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