Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 17

Suponha que f C ² em R 2 , c 0 , c constante e f ( x , t ) satisfaz a equação

2 f t 2 = c 2 2 f x 2

Determine constantes m , n , p e q para que g u , v = f ( x , t ) , onde

x = m u + n v     ,     m n 0

t = p u + q v     ,       p q 0

Satisfaça a equação

2 g u v = 0

Passo 1

Ok, vamos entender que é essa função g .

Bem, ela é só a função f ( x , t ) , onde

x = m u + n v    

t = p u + q v    

Tranquilo, né?

Agora vamos calcular essa derivada parcial mista de g aí né.

Mas antes temos que calcular g v .

g v = f x x v + f t t v

g v = f x n + f t q

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular 2 g u v . Pela regra da cadeia:

2 g u v = u g v = n 2 f x 2 . x u + 2 f t x . t u + q 2 f t 2 . t u + 2 f x t . x u

2 g u v = n 2 f x 2 . m + 2 f t x . p + q 2 f t 2 . p + 2 f x t . m

2 g u v = m n 2 f x 2 + n p 2 f t x + p q 2 f t 2 + q m 2 f x t

Passo 3

Como o enunciado nos diz que f é de classe C ² , então

2 f x t = 2 f t x

Assim

2 g u v = m n 2 f x 2 + p q 2 f t 2 + ( n p + q m ) 2 f t x

Passo 4

Agora, vamos fazer

2 g u v = 0

m n 2 f x 2 + p q 2 f t 2 + n p + m q 2 f t x = 0

Para que isso seja verdade,

n p + m q = 0

Assim

m n 2 f x 2 + p q 2 f t 2 = 0

2 f t 2 = - m n p q 2 f x 2

Do enunciado, temos que

2 f t 2 = c 2 2 f x 2

Então podemos fazer

- m n p q = c 2

Assim

- m n = c 2 p q

m n + c 2 p q = 0

Passo 5

Dessa forma, para que 2 g u v seja igual a zero, precisamos que

n p + m q = 0

m n + c 2 p q = 0

Temos um sistema com duas equações e quatro incógnitas. Assim, temos infinitas soluções.

Então, quaisquer valores de m , n , p e q que satisfaçam essas equações são válidos. Por exemplo

n = 1

m = 1

q = 1 c 2

p = - 1 c 2

Resposta

Infinitas soluções. Por exemplo

n = 1

m = 1

q = 1 c 2

p = - 1 c 2

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