Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

Calculo 2 – UFPE – 1° EE

Considere a função f x , y = ∫ x y e t 2 d t . Sabendo que x = x r , s = r s 4 e que y = y r , s = r 4 s , calcule ∂ f / ∂ r ∂ f / ∂ s .

Passo 1

Temos aqui um problema de regra de cadeia. Temos uma função f que depende de x e y , e essas duas variáveis dependem de r e s .

Como queremos as derivadas parciais em relação a r e s , ao utilizarmos a regra da cadeia. Esta regra da cadeia que fizemos é um caso de 2 parâmetros (x e y dependem de dois parâmetros cada). Sendo assim, relembrando as relações, temos:

∂ f ∂ r = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

E

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

Esta regra da cadeia que fizemos é um caso de 2 parâmetros (x e y dependem de dois parâmetros cada).

Então, nosso trabalho agora é calcularmos cada uma dessas derivadas. Somente após calcularmos todas elas, podemos substituir nestas relações e assim determinar ∂ f / ∂ r ∂ f / ∂ s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Iremos agora obter as derivadas parciais das funções x r , s e y r , s . Começaremos pelas derivadas ∂ x / ∂ r e ∂ x / ∂ s , e, relembrando, x r , s = r s 4 . Se derivarmos em x em relação à r , então a variável s é uma constante. Se for o contrário, derivamos em relação à s , consideramos r uma constante. Portanto,

∂ x ∂ r = s 4

∂ x ∂ s = 4 r s 3

Agora, vamos obter as derivadas parciais de y r , s = r 4 s . Isto é, ∂ y / ∂ r e ∂ y / ∂ s . Lembrando, se derivamos em relação à r , s é uma constante. Caso contrário, se derivamos em relação à s , r é uma constante. Portanto,

∂ y ∂ r = 4 r 3 s

∂ y ∂ s = r 4

Passo 3

Pronto, estamos quase finalizando a questão. Só precisamos determinar as derivadas parciais da função f x , y . Entretanto, vocês podem estar se questionando como que derivamos esta função.

Será se precisamos integrar primeiro e derivar depois? E como que integra esta função? Bom, esta linha de pensamento está errado.

Temos que utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para resolvermos esta questão.

Relembrando, seja uma função h x = ∫ a g x e t 2 d t , em que a é uma constante. Portanto, a derivada dessa função é:

h ' x = e g x 2 ⋅ g ' x

O que fizemos foi aplicar a função que está no limite superior da integral na função que estamos integrando e a multiplicamos pela derivada da função que está no limite superior da integral.

Ao fazermos as derivadas parciais, basta lembrarmos que a outra variável é uma constante, ela é esse nosso a.

Portanto, ao derivarmos a função f x , y aplicando o TFC, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ∫ x y e t 2 d t = ∂ ∂ x - ∫ y x e t 2 d t = - e x 2

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ∫ x y e t 2 d t = e y 2

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos substituir todas as derivadas que calculamos na relação definida do Passo 1. Portanto,

∂ f ∂ r = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

∂ f ∂ r = - e x 2 ⋅ s 4 + e y 2 ⋅ 4 r 3 s

E

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

∂ f ∂ s = - e x 2 ⋅ 4 r s 3 + e y 2 ⋅ r 4

Resposta

As derivadas parciais são:

∂ f ∂ r = - e x 2 ⋅ s 4 + e y 2 ⋅ 4 r 3 s

∂ f ∂ s = - e x 2 ⋅ 4 r s 3 + e y 2 ⋅ r 4

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