a) Calcule a derivada das seguintes funções

f x = ln ⁡ x + 1 x - 1

Passo 1

Bora lá. Temos que derivar uma função trigonométrica inversa. Ok, só pra lembrar, a derivada de ln ⁡ x tem um cálculo direto viu? Vamos ter:

d d x ln ⁡ x = 1 x

Beleza, mas não é bem x que que tá no interior do l n né? Na verdade, é bem como se tivéssemos:

ln ⁡ x + 1 x - 1 = ln ⁡ g x

g x = x + 1 x - 1

Opa, se derivarmos de novo, vamos acabar usando a regra da cadeia! Até porque, seja f e g funções quaisqueres de x :

d d x f g x = f ' g x ∙ g ' x

Seguindo essa regra aí para f x = ln ⁡ x , vamos ter:

d d x ln ⁡ g x = 1 g x ∙ g ' x

d d x ln ⁡ x + 1 x - 1 = 1 x + 1 x - 1 ∙ x + 1 x - 1 '

d d x ln ⁡ x + 1 x - 1 = x - 1 x + 1 ∙ x + 1 x - 1 '

Passo 2

Agora vamos ter que derivar:

x + 1 x - 1 '

Pra derivar isso, vamos pensar nessa função como sendo:

h x = x + 1 x - 1 1 2

Usando a regra da cadeia de novo, vamos ter:

h x = 1 2 x + 1 x - 1 - 1 2 x + 1 x - 1 '

h x = 1 2 x - 1 x + 1 x + 1 x - 1 '

E não acabou ainda, porque ainda temos maaais uma derivada pra fazer:

x + 1 x - 1 '

Essa sai pela regra do quociente. Seja u e v funções de x , a regra do quociente é:

u v ' = u ' v - u   v ' v 2

E logo:

x + 1 x - 1 ' = x + 1 ' x - 1 - x + 1 x - 1 ' x - 1 2

x + 1 x - 1 ' = x - 1 - x - 1 x - 1 2 = - 2 x - 1 2

Fechada a questão em! Só juntar tudo agora. O que achamos foi:

d d x ln ⁡ x + 1 x - 1 = x - 1 x + 1 ∙ x + 1 x - 1 '

x + 1 x - 1 ' = 1 2 x - 1 x + 1 x + 1 x - 1 '

x + 1 x - 1 ' = - 2 x - 1 2

Misturando tudo dá pra ver uma solução aparecer:

d d x ln ⁡ x + 1 x - 1 = x - 1 x + 1 ∙ 1 2 x - 1 x + 1 - 2 x - 1 2

d d x ln ⁡ x + 1 x - 1 = x - 1 x + 1 - 1 x - 1 2 = - 1 x + 1 x - 1

d d x ln ⁡ x + 1 x - 1 = - 1 x 2 - 1

Resposta

d d x ln ⁡ x + 1 x - 1 = - 1 x 2 - 1

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