Exercícios Resolvidos de Relação entre Função Degrau e Delta de Dirac

Elaboração própria.

Prove que, para a ∈ b , c , temos como verdade:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f a

Passo 1

Bora lá então. Olha só, mesmo tendo um Delta de Dirac dentro dessa integral, podemos resolver esse carinha usando propriedades de integrais. Afinal, temos um produto de funções de tipos diferentes, o que geralmente nos pede pra fazer integração por partes. Seja então:

u = f t           →             d u = f ' x   d x

δ t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ t - a   d t = ∫ u a ' t   d t = u a t

Nossa integral pode ser entendida como:

∫ f t ∙ δ t - a   d t = ∫ u   d v

E pela integração por partes, vamos ter:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f t ∙ u a t b c -   ∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t

E dai em diante podemos separar em dois pedações e resolver cada um.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com f t ∙ u a t b c . Lembrando da definição:

u a t = 0 ,     t < a 1 ,     t ≥ a

Como a ∈ b , c , vamos ter que:

c > a b < a

E logo:

u a b = 0 u a c = 1

O resultado desse pedaço da integração por partes será:

f t ∙ u a t b c = f c ∙ u a c - f b ∙ u a b = f c

Passo 3

Agora vamos calcular aquela integral que ficou faltando. Bem, já que ela é:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t

Podemos transformar ela em duas na verdade, já que a ∈ b , c , ficando então com:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = ∫ b a f ' x   ∙ u a t   d t + ∫ a c f ' x   ∙ u a t   d t

Mas como:

u a t = 0 ,     t < a 1 ,     t ≥ a

No final das contas a gente fica com:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = ∫ a c f ' x     d t

Opa, e olha só, temos a integral de uma derivada! Não importa quem for f x , esse resultado será:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = f t a c = f c - f a

Passo 4

Agora a gente junta tudo. Já que:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f t ∙ u a t b c -   ∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t

f t ∙ u a t b c = f c

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = f c - f a

Temos então:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f c - f c - f a

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f c - f c + f a

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f a

Provadíssimo!

Resposta

Por integração por partes:

u = f t           →             d u = f ' x   d x

δ t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ t - a   d t = ∫ u a ' t   d t = u a t

Conseguimos provar que:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas